∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴ a?2, c=1. ∴ b2?a2?c2?1.
∴ W: x?y2?1 (y?0). ????????????????? 2分
22x(Ⅱ) 设直线l的方程为y?kx?2，代入椭圆方程，得?(kx?2)2?1. 2 整理，得(1?k2)x2?22kx?1?0. ①?????????? 5分
2 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
??8k2?4(1?k2)?4k2?2?0，解得k??2或k?2. 222∴ 满足条件的k的取值范围为 k?（??,?
222)?(,??)???? 7分 22????????（Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OP?OQ＝（x1+x2，y1+y2),
由①得x1?x2??42k2. ②
1?2k 又y1?y2?k(x1?x2)?22 ③
????? 因为M(2, 0)，N(0, 1)， 所以MN?(?2, 1).????????? 11分
????????????? 所以OP?OQ与MN共线等价于x1?x2=-2(y1?y2).
将②③代入上式，解得k?2. 2????????????? 所以不存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共线.???????? 13分
20.（本小题共14分）
解:(Ⅰ) ∵ a3?a1?2d， ∴ f(d?1)?f(d?1)?2d.
即 d2?(d?2)2?2d， 解得 d =2.
∴ a1?f(2?1)?0. ∴ an?2(n?1). ????????????? 2分
2∵ b3?q2, ∴ f(q?1)?q2?q.
2f(q?1)(q?2)b1∵ q?0, q?1, ∴ q?3.
又b1?f(q?1)?1， ∴ bn?3n?1.???????????????? 4分 (Ⅱ) 由题设知 c1?a2， ∴c1?a2b1?2.
b1 当n?2时, c1?c2?c3???cn?1?cn?an?1,
b12b23b3(n?1)bn?1nbn c1?c2?c3???cn?1?an, b12b23b3(n?1)bn?1 两式相减,得cn?an?1?an?2.
nbn 11
∴ cn?2nbn?2n?3n?1 (c1?b1a2?2适合).??????????? 7分 设T=c1?c3?c5???c2n?1,
∴ T?2?6?32?10?34???(4n?2)?32n?2
32T?2?32?6?34?10?36???(4n?6)?32n?2?(4n?2)?32n
两式相减 ,得
?8T?2?4?32?4?34???4?32n?2?(4n?2)?32n
n?1199(9?1) ?2?4??(4n?2)?9n?2??9n??(4n?2)?9n 229?1 ??5?5?9n?4n?9n.
22 ∴ T?5?(n?5)?32n.??????????????????? 9分
16216n(Ⅲ) 3bn?1=3n?1?1?n2, an?1?2n?1?2.
3?12n?23bn?13?1an?22(n?1) 现只须比较3n?1与2n?2的大小.
当n=1时, 3n?1?4?2n?2； 当n=2时, 3n?1?10?2n?2?6； 当n=3时, 3n?1?28?2n?2?8； 当n=4时, 3n?1?82?2n?2?10. 猜想n?2时，3n?1?2n?2. 用数学归纳法证明
(1)当n=2时，左边?3n?1?10，右边?2n?2?6，3n?1?2n?2成立. (2)假设当n=k时, 不等式成立，即3k?1?2k?2. 当n=k+1时, 3k?1?1?3?3k?1?3k?1?2?3k
?2k?2?2?3k?2k?2?2?2(k?1)?2.
即当n=k+1时，不等式也成立. 由（1）（2），可知n?2时，3n?1?2n?2都成立. 所以 3n?1?2n?2（当且仅当n＝1时，等号成立）
所以1?n2?1?2.即3bn?1?an?1. ??????????? 14分
3?12n?23bn?1an?2
12
丰台区2008年高三统一练习（一）
数学（理科）答案及评分参考 2008年4月
一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40 分）
题号 答案 题号 答案 1 A 9 4 2 D 3 B 10 4 C 11 5 D 12 10 6 B 7 A 13 -3 8 C 14 5，Cm?n2m二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分） ?x (x?0) [8, 17) 三、解答题：（共6个小题，共80分） 15.（本小题共13分）
?????解：（Ⅰ）当m??1时，a ?(?1, x2?1)，c ?(1, x).
x?12????? a ?c ??1?x(x?1)?x2?x?1. ??????????????? 2分
x?1????? ∵ a ?c ?x2?x?1?1,
2?x?∴ ??x?1??1, 解得 ?2?x??1或0?x?1. 2??x?x?1?1.?????∴ 当m??1时，使不等式a ?c ?1成立的x的取值范围是
?x?2?x??1或0?x?1?.????????????????? 5分
22?????? （Ⅱ）∵ a ?b ??(m?1)?x?m?x?(m?1)x?m?(x?1)(x?m)?0,?? 8分
xxx ∴ 当m<0时,x?(m, 0)?(1, ??)；
当m=0时, x?(1, ??)；
当0?m?1时，x?(0, m )?(1, ??)； 当m＝1时，x?(0, 1 )?(1, ??)；
当m>1时，x?(0, 1 )?(m, ??). ??????????? 13分
16.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均
为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，
22 且 P(A)?C3?1, P(B)?C4?2.????????????? 3分
22C42C65 所以取出的4个球均为黑球的概率为
121P(A?B)?P(A)?P(B)???.???????????? 4分
255（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红
球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，
13
12211CCCC?C434324且P(C)??, P(D)???1.??????? 7分 ?2222C4C65C4C615 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
P(C?D)?P(C)?P(D)?4?1?7. ???????????? 8分
15515（Ⅲ）设?可能的取值为0,1,2,3.
1 由（Ⅰ）、（Ⅱ）得P(??0)?1, P(??1)?7,P(??3)?C3?1?1.
22515C4C630 所以P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?3. ??????? 11分
10 ?的分布列为
? P 0 1 51 7 152 3 103 1 30 ∴ ?的数学期望 E??0?1?1?7?2?3?3?1?7.?????? 13分
5151030617.（本小题共13分）
解：(Ⅰ) AB∥平面DEF. 在△ABC中，
∵ E、F分别是AC、BC上的点，且满足CE?CF?k，
CACBAEDFCB∴ AB∥EF. 图（2）
∵ AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴ AB∥平面DEF. ????? 3分
?(Ⅱ)过D点作DG⊥AC于G，连结BG，
∵ AD⊥CD, BD⊥CD,
∴ ∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.
?AGEC∴ ∠ADB=90, 即BD⊥AD.
B∴ BD⊥平面ADC. ∴ BD⊥AC. ∴ AC⊥平面BGD. ∴ BG⊥AC .
∴ ∠BGD是二面角B-AC-D的平面角. ???????????? 5分 在ADC中，AD=a, DC=3a, AC=2a,
FD2AD?DC3a3a. ∴ DG???AC2a2在Rt△BDG中，tan?BGD?BD?23. DG3∴ ?BGD?arctan23. 3即二面角B-AC-D的大小为arctan23.????????????? 8分
3 (Ⅲ)∵ AB∥EF, ∴ ∠DEF(或其补角)是异面直线AB与DE所成的角.? 9分
∵ AB?2a，∴ EF?2ak. 又DC=3a, CE?kCA?2ak，
14
∴DF?DE?DC2?CE2?2DC?CE?cos?ACD 2222ak?cos30? ?3a?4ak?23a??3a2?4a2k2?6a2k?a3?4k2?6k. ??????? 11分
222DE?EF?DFEF2. ∴ cos?DEF???2DE?EF2DE4∴ 22ak?2?a3?4k2?6k. 解得 k?1.???????? 13分 218.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）函数的定义域为（-1, +∞）.????????????????? 1分 ∵ f/(x)?2[(x?1)?1]?2x(x?2),
x?1x?1/由f(x)?0，得x>0；由f/(x)?0，得?1?x?0.??????? 3分 ∴ f (x)的递增区间是(0,??)，递减区间是（-1, 0）.??????? 4分 （Ⅱ）∵ 由f/(x)?2x(x?2)?0，得x=0,x=-2（舍去）
x?1由（Ⅰ）知f (x)在[1?1, 0]上递减，在[0, e?1]上递增.
e高三数学（理科）答案第3页（共6页）
又 f(1?1)?12?2， f(e?1)?e2?2, 且e2?2?12?2.
eee∴ 当x?[1?1,e?1]时，f (x)的最大值为e2?2.
e故当m?e2?2时，不等式f (x) 1?xx?1由g/(x)?0,得x>1或x<-1（舍去）. 由g/(x)?0, 得?1?x?1. ∴ g(x)在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增. 为使方程f(x)?x2?x?a在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根， 只须g(x)=0在[0,1]和(1, 2]上各有一个实数根,于是有?g(1)?0, ??g(2)?0.??g(0)?0, ∵ 2?2ln2?3?2ln3, ∴ 实数a的取值范围是 2?2ln2?a?3?2ln3. ????????? 14分 19.（本小题共13分） 解：(Ⅰ) 设C（x, y）, ∵ AC?BC＋AB?2?22, AB?2, ∴ AC?BC?22?2, 15