f(t)1-1 0 1 -11fo(t)t-1 0 1 -1tf(-t)1-1 0 1 -11fe(t)t图1-9-2
-1 0 1 -1t
1.10试证明因果信号f(t)的奇分量fo(t)和偶分量fe(t)之间存在关系式
fo(t)?fe(t)sgn(t)
证明：因为f(t)为因果信号 所以，f(t)?f(t)u(t) 所以，fo(t)?11?f(t)?f(?t)???f(t)u(t)?f(?t)u(?t)? 221fe(t)??f(t)u(t)?f(?t)u(?t)?
21?f(t)u(t)?f(?t)u(?t)?sgn(t)21??f(t)u(t)sgn(t)?f(?t)u(?t)sgn(t)? 21??f(t)u(t)?f(?t)u(?t)?2?fo(t)所以，
fe(t)sgn(t)?证毕
1.11分别求出下列各波形的直流分量 (1) 全波整流f(t)?sin(?t);
(2) 升余弦函数f(t)?K[1?cos?t)]
解： 求解信号波形的直流分量，实际上即为求解信号的平均值，对于周期信号，只需求一个周期内的
平均值即可。 （1）sin??t?的周期为
12????，所以其直流分量为： 2??
1 fD?T ??????1?0f?t?dt???0sin??t?dt???cos??t?0?T1???1?1??2?
（2）因为cos??t?在一个周期内均值为0，所以fD?K 1.12画出下列系统的框图 (1) 2dy(t)dx(t) ?5y(t)?3x(t)?dtdtd2y(t)dy(t)dx(t)(2) ?4?2y(t)??x(t)
dtdtdt2解：（1）系统方程两边同除以2，得
dy(t)531dx(t) ?y(t)?x(t)?dt222dt1/2x(t)Σf'(t)∫f(t)3/2Σy(t)
?5/2图1-13-1
（2）
x(t)Σf''(t)∫f'(t)∫f(t)Σy(t)?4?2
图1-13-2
1.13判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果性 (1) y(t)?cos[x(t)]u(t)(2) y(t)?[x(t)?cost]u(t)
(3) y(t)?dx(t) dt2(4) y(t)?x(t)? (5) y(t)?(6) y(t)??5t??x(?)d??
1x(t)?x(t?2) 3(7) y(t)?x(t)?
(8) y(t)?x(t)n?????(t?nT)
?解： （1）?y(t)?T?x(t)??cos[x(t)]u(t)
?y1(t)?T?x1(t)??cos[x1(t)]u(t)，y2(t)?T?x2(t)??cos[x2(t)]u(t) T?ax1(t)?bx2(t)??cos[ax1(t)?bx2(t)]u(t)
ay1(t)?by2(t)?{cos[ax1(t)]?cos[bx2(t)]}u(t) ?ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]
即系统非线性
T?x(t??)??cos[x(t??)]u(t)
y(t??)?cos[x(t??)]u(t??) ?y(t??)?T[x(t??)]
即系统为时变系统
由于任意?时刻的输出只与?时刻的输入有关，而与?时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。 所以，该系统是非线性、时变、因果系统。 （2）?y(t)?T?x(t)??[x(t)?cost]u(t)
?y1(t)?T?x1(t)??x1(t)costu(t)，y2(t)?T?x2(t)??x2(t)costu(t) T?ax1(t)?bx2(t)??[ax1(t)?bx2(t)]costu(t)
ay1(t)?by2(t)?[ax1(t)?bx2(t)]costu(t) ?ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]
即系统线性
T?x(t??)??x(t??)costu(t)
y(t??)?x(t??)cos(t??)u(t??) ?y(t??)?T[x(t??)]
即系统为时变系统
由于任意?时刻的输出只与?时刻的输入有关，而与?时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。 所以，该系统是线性、时变、因果系统。 （3）?y(t)?T?x(t)??dx(t) dtdx(t)dx(t)?y1(t)?T?x1(t)??1，y2(t)?T?x2(t)??2
dtdtdx(t)dx(t)dT?ax1(t)?bx2(t)??[ax1(t)?bx2(t)]?a1?b2
dtdtdtdx(t)dx(t)ay1(t)?by2(t)?a1?b2
dtdt?ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]
即系统线性
T?x(t??)??y(t??)?dx(t??) dtdx(t??)dx(t??) ?d(t??)dt?y(t??)?T[x(t??)]
即系统为时不变系统
由于任意?时刻的输出只与?时刻的输入的微分有关，而与?时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。
所以，该系统是线性、时不变、因果系统。 (4) ?y(t)?T?x(t)??x(t)
22?y1(t)?T?x1(t)??x12(t)，y2(t)?T?x2(t)??x2(t)
2T?ax1(t)?bx2(t)??[ax1(t)?bx2(t)]2?a2x12(t)?b2x2(t)?2abx1(t)x2(t) 2ay1(t)?by2(t)?ax12(t)?bx2(t)
?ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]
即系统非线性
T?x(t??)??x2(t??)
y(t??)?x2(t??)
?y(t??)?T[x(t??)]
即系统为时不变系统
由于任意?时刻的输出只与?时刻输入的平方有关，而与?时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。
所以，该系统是非线性、时不变、因果系统。 (5) ?y(t)?T?x(t)???5t??x(?)d?
5t???y1(t)?T?x1(t)???x1(?)d?，y2(t)?T?x2(t)???x2(?)d?
??5tT?ax1(t)?bx2(t)???[ax1(?)?bx2(?)]d?
??5tay1(t)?by2(t)?a?x1(?)d??b?x2(?)d???[ax1(?)?bx2(?)]d?
??????5t5t5t?ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]
即系统线性
5t5t?t0T?x(t?t0)???x(??t0)d???????x(?)d?
y(t?t0)??5(t?t0)??x(?)d?
?y(t?t0)?T[x(t?t0)]
即系统为时变系统 当t?0时，y(t)?5t???x(?)d?，5t?t，说明系统在t的输出与t时刻以后的输入有关，所以系统
为非因果系统。
所以，该系统是线性、时变、非因果系统。 (6) ?y(t)?T?x(t)??1x(t)?x(t?2) 311?y1(t)?T?x1(t)??x1(t)?x1(t?2)，y2(t)?T?x2(t)??x2(t)?x2(t?2)
3311T?ax1(t)?bx2(t)??ax1(t)?ax1(t?2)?bx2(t)?bx2(t?2)
3311ay1(t)?by2(t)?a[x1(t)?x1(t?2)]?b[x2(t)?x2(t?2)]
33?ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]
即系统线性
1T?x(t?t0)??x(t?t0)?x(t?2?t0)
3