? yh(t)?c1ecosbt?c2esinbt
当特征根有一对m重复根，即共有m重?1,2?a?ib的复根，则微分方程的齐次解
atatyh(t)?c1cosbt?c2teatcosbt?????cmtm?1eatcosbt
?d1eatsinbt?d2teatsinbt?????dmtm?1eatsinbt
特解的函数形式与激励函数的形式有关。
激励函数x(t) 响应函数y(t)的特解 E(常数) tp eat B B1tp?B2tp?1???Bpt?Bp?1 Beat cos?t sin?t tecos(?t) tesin(?t) 注:(1)表中B、D是待定系数。
patpatB1cos?t?B2sin?t (B1tp???Bpt?Bp?1)eatcos?t?(D1t???Dpt?Dp?1)esin?tpat (2)若x(t)由几种激励组合而成，则特解也为其相应的组合。
(3)若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t倍乘表中特解。假如这种重 复形式有k次（特征为k次），则依次增加倍乘t，t，?，t诸项。 2.4.3起始点的跳变-从0?到0?状态的转换
在系统分析中，定义响应区间为确定激励信号x(t)加入后系统的状态变化区间。一般激励x(t)都是从
2kt?0时刻加入，此时系统的响应区间定义为0??t??。当系统用微分方程表示时，系统从0?到0?状
态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含?(t)及其各阶导数项。如果包含有?(t)及其各阶导数项，说明相应的0?到0?状态发生了跳变，即y(0?)?y(0?)或y'(0?)?y(0?)等等。这时为确定y(0?)、
'y'(0?)等状态，可以用冲激函数匹配法。
2.4.4系统的零输入响应与零状态响应
（1）零输入响应
系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。 零输入响应yzi(t)是满足
any(n)(t)?an?1y(n?1)(t)?????a1y(1)(t)?a0y(t)?0
及起始状态y(k)(0?)(k?0，1，???，n?1)的解,它是齐次解的一部分
nyzi(t)??czike?kt
k?1由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发生跳变，y(k)(0?)?y(k)(0?)，所以yzi(t)中的常数
czik可由y(k)(0?)确定。
（2）零状态响应
所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的起始状态为零，即
y(0?)?y(1)(0??)???y(n?1)(0?)?0
这时仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状态响应yzs(t)。
零状态响应yzs(t)由起始状态为零时的方程
?dny(t)dn?1y(t)dy(t)a?a?????a?a0y(t)n?11?nnn?1dtdtdt??dmx(t)dm?1x(t)?bm?bm?1?????b1x(t)?b0x(t) ?dtdt???(k)k?0，1，???，n?1?y(0?)?0所确定。
系统的零状态响应yzs(t)为
yzs(t)?yzsh(t)?yzsp(t)
其中yzsh(t)和yzsp(t)分别为齐次解和特解。
系统的线性：
条件1 系统响应可以分解为零输入响应与零状态响应之和。
条件2 零输入线性，即零输入响应与初始状态x(0?)或x(0?)之间满足线性特性。 条件3 零状态线性，即零状态响应与激励之间满足线性特性。 2.2.5连续时间系统的冲激响应与阶跃响应 （1）冲激响应
系统在单位冲激信号?(t)作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号?(t)时系统的零状态响应。
在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。 因果系统的冲激响应为h(t)?0 t?0
（2）阶跃响应
一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应
阶跃响应g(t)与冲激响应h(t)之间的关系为
g(t)??h(?)d? 或 h(t)???tdg(t) dt2.2.6 卷积积分
（1）卷积积分的概念
一般情况下，如有两个信号f1(t)和f2(t)做运算
y(t)??f1(?)f2(t??)d?
???此运算定义为f1(t)和f2(t)的卷积(Convolution)，简记为
y(t)?f1(t)?f2(t) 或 y(t)?f1(t)?f2(t)
（2）卷积积分的图解法
用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号f1(t)和f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：
第一步，画出f1(t)和f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成?轴，分别得到f1(?)和f2(?)的波形。 第二步，将f2(?))波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到f2(??)波形。 ?
第三步，给定一个t值，将f2(??)波形沿?轴平移t。在t?0时，波形往左移，在t?0时，波形往右移，这样就得到了f2(t??)的波形。 ?
第四步，将f1(?)和f2(t??)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1(?)f2(t??)。 ? 第五步，计算乘积信号f1(?)f2(t??)波形与?轴之间包含的净面积。
第六步，令变量t在(??,??)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)?f2(t)。 （3）卷积运算的性质
性质1 乘法运算中的交换律、结合律和结合律适应于卷积运算 交换律 f1(t)?f2(t)?f2(t)?f1(t)
结合律f1(t)?[f2(t)?f3(t)]?[f1(t)?f2(t)]?f3(t) 分配律f1(t)?[f2(t)?f3(t)]?f1(t)?f2(t)?f1(t)?f3(t) 性质2 信号与奇异信号的卷积?
信号与冲激信号的卷积等于信号本身，即
f(t)??(t)?f(t)
f(t)??(t?t0)?f(t?t0)
信号f(t)与冲激偶?(t)的卷积等于f(t)的导函数，即
'f(t)??'(t)?f'(t)
信号f(t)与阶跃信号u(t)的卷积等于信号f(t)的积分,即
f(t)?u(t)???f(?)d?
??t性质3 卷积的微分与积分
'''如果y(t)?f1(t)?f2(t)，则有y(t)?f1(t)?f2(t)?f1(t)?f2(t) 如果y(t)?f1(t)?f2(t)，则
?t??y(?)d??f1(t)??f2(?)d??f2(t)??f1(?)d?。
????(j)tt设y(t)?f1(t)?f2(t)，则有y(t)?f12.2.7 用卷积积分法求系统的零状态响应
(i)(t)?f2(i?j)(t)
t对于任一时刻t系统的零状态响应为yzs(t)?2.2.8 相关
?x(?)h(t??)d?
0如果f1(t)和f2(t)是两个能量有限的信号，且均为实函数，则它们之间的相关函数（又称为互相关函数）定义为
R12(?)??????f1(t)f2(t??)dt??f1(t??)f2(t)dt
???????和R21(?)??f2(t)f1(t??)dt??????f1(t)f2(t??)dt
互相关性质：R12(?)?R21(??)。
当f1(t)和f2(t)是同一个信号时，即f1(t)?f2(t)?f(t)，则它们之间的相关函数（又称为自相关函数）定义为
R(?)??????f(t)f(t??)dt??????f(t??)f(t)dt
自相关函数性质： （1）R(?)?R(??)
（2）t?0时，相关性最强，R?0?最大。
如果f1(t)和f2(t)是功率有限信号，且均为实函数，那么互相关函数定义为
1R12(?)?limT??T?1和R21(?)?lim?T??T?自相关函数定义为
?121?2f1(t)f2(t??)dt
?T2T?2?f2(t)f1(t??)dt?
?1R(?)?limT??T?121?2f(t)f(t??)dt
2.2.9用算子符号表示微分方程 （1）算子符号的基本性质
和积分用下述算子符号表示
p?d dt)d?
t1?(p???式中，p称为微分算子，和积分运算。
例如 pf(t)?n1称为微分逆算子或积分算子。这样，可以应用微分或积分算子简化表示微分pdx(t) dtdnpf(t)?x(t)
dtt1f(t)??x(?)d?
??p对于微分方程式(2-4)则可表示为
anpny(t)?an?1pn?1y(t)?????a1py(t)?a0y(t)
?bmpmx(t)?bm?1pm?1x(t)?????b1px(t)?b0x(t)