2008-2009学年第二学期 《偏微分方程》期末试题（B）
一 填空题 （每小题6分，共30分）
1 现有一长度为l的均匀细杆，杆的x?0端保持恒温T0，x?l端为绝热（即 热流为零），杆的初始温度分布为
x(l?x)，则杆上热传导的定解问题为（ ）。 22??u2?u??a2?t?x?x(l?x)? ?u|t?0?2???uu|?T,?x?00?x?
?0.x?l2现有一长度为l的均匀细弦，弦的x?0端固定，x?l端自由，弦的初始位移为x2?2lx，初始速度是零，那么弦的位移函数u?x,t?所满足的定解问题是（ ）。
2??2u2?u0?x?l,t?0?2?a2?t?x???uu?0,?0 ?x?0?xx?l???u2?0?ut?0?x?2lx,?tt?0?3 常用三类边界条件的统一表达式是（ ），当（ ）
时，称为齐次边界条件。 4 函数f?x?的Fourier变换公式是（ ），反变换公式是（ ）。
C5 常数C的 Laplace变换的像L?C??（ ）。
p
二 解答下列各题 （每题5分，共10分）
1 利用Bessel函数的递推公式Jn?1(x)?Jn?1(x)?2nJn(x), 将J3(x)用J0(x)及xJ1(x)表示出来。
J3(x)?4J2(x)4J(x)4J(x)84?J1(x)?812?0?J1(x)?(2?1)J1(x)?J0(x) xxxxx2将f(cos?)?3cos2??1在0????上展开成勒让德（Legendre）多项式系Pn(cos?)(n?0,1,2,?)的级数。
13x2?13P(x)?(5x?3x)]。 P(x)?[已知P0(x)?1，P，，(x)?x321226cos2??2?4P2(cos?) 三 求解下列定解问题（20分）
2??2u2?u?f0(0?x?l,t?0),?2?a2?x??t? ?ux?0?0,ux?l?A?t?0?,
??u??u?0(0?x?l).t?0??tt?0?其中f0和A为常数．
解 令 u(x,t)?V(x,t)?W(x), 代入方程，得
2??2V2??V???a?W(x)?f0. ??22?t??x?为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的，选W(x)满足
2?)?0f?0,?aW??(x ?
?A.??l?Wx?0?0,Wx这是一个二阶常系数线性非齐次常微分方程的边值问题，它的解可以通过两次积分求得：
W(x)??f02?f0lA?x??2??x. 2a2l??2a求出函数W(x)之后，可知函数V(x,t)满足下列定解问题
2??2V2?V(0?x?l,t?0),?2?a2?x??t? ?Vx?0?Vx?l?0?t?0?,
??V??W(x),?V?0?0?x?l?.t?0??tt?0? 应用分离变量法，可知问题的一般解为
n?an?a?n?? V(x,t)???Cncost?Dnsint?sinx.
ll?ln?1??利用初始速度条件可得Dn?0． 于是有
V(x,t)??Cncosn?1?n?an?tsinx, ll再由初始位移条件，得
?W(x)??Cnsinn?1?n?x, l即
?f02?f0lA?n?x??x?Csinx. ?n?2?2a22all??n?1由Fourier级数的系数公式可得
Cn?
2l?f02?f0lA??n?x??xsinxdx?2???2?0l?2al??l?2af0l2n?n??f02A?l?2?xsinxdx??2?2??xsinxdx （*）
0al0lall???2f0l22?f0l2??233??A??cosn?.an?n??a2n2?2?因此，原定解问题的解为
?f02?f0lA?n?an?u(x,t)??2x??2??x??Cncostsinx,
2a2alll??n?1其中Cn由式（*）确定．
四 氢原子定态问题的量子力学Schr?dinger（薛定谔）方程是
Ze2 ?2?u?u?Eu
8??r2h2其中h,?,Z,e,E都是常数。试在球坐标系下把这个方程分离变量，即得到各个单变 量函数所满足的常微分方程。（20分）
1?2?u1??u1?2u（已知在球坐标系中 ?u?2） (r)?2(sin?)?222r?r?rrsin?????rsin???2解：先令A?h28??2,B?Ze，则Schrodinger方程可以简单写为
22 A?u?Bu?Eu?0 r由laplace算符在球坐标下的表达式，则在球坐标下，Schrodinger方程的表达式为
1?2?u1??u1?2uuA[2(r)?2(sin?)?22]?B?Eu?0 2r?r?rrsin?????rsin???r令u(r,?,?)?R(r)Y(?,?)，代入上式得
AYd2dRAR??YAR?2YB(r)?(sin?)??(?E)RY?0 r2drdrr2sin?????r2sin2???2rr2两边分别乘以，得
ARY1d2dRr2B1??Y1?2Y (r)?(?E)??(sin?)?RdrdrArYsin?????Ysin2???2要使上式成立，则必有两边等于同一个常数，记为l(l?1)，从而
d2dRB(r)?[r?Er2?l(l?1)]R?0 drdrA即
1d2dR8?2?Ze2l(l?1)(r)?[(?E)?]R?0
drrr2drh2r2至于Y则满足球函数方程
1??Y1?2Y (sin?)??l(l?1)Y?0 （2）
sin?????sin2???2球函数方程（2）的可以进一步分离变，令Y(?,?)??(?)?(?)代入（2），则得?满足
?''?m??0 （3）
2?满足缔合勒让德方程
d2?d?m2?2x?[l(l?1)?]??0 （4） (1?x)22d?d?1?x2其中x?cos?.
五 1 试利用变换v(x,t)?e??tu(x,t)将有阻尼的波动方程
vtt?a2vxx?2?vt??2v?0 ????x???化成标准波动方程utt?a2uxx?0；
（10分）
2 在初始条件 v(x,t)|t?0??(x),程的解。 （10分）
解 令
vt(x,t)|t?0??(x)????x???下求这个方
v(x,t)?e??tu(x,t) （1）
??t 则 vt?e?ut??u?,vtt?e??t?utt?2?ut??2u?,vxx?e??tuxx
代入到原方程，得
222 utt?auxx?2?????ut???2????u?0
??则上式变成标准波动方程
utt?a2uxx?0 （4） 将变换（3）代入到初始条件，得
v(x,0)?e???0u(x,0)??(x) vt(x,0)?即
d???t?eu(x,t)?|t?0??(x) ??dtu(x,0)?v(x,0)??(x)?? （5）
ut(x,0)??(x)???(x)?于是求解定解问题（1）--（2）就转化为求解定解问题（4）--（5）。由D’Alembert 公式有
11x?at??x?at????x?at?? u(x,t)????2a?x?at??????????????d? 2?代入（3）式得原定解问题的解为 u(x,t)?
11?x?at??x?at????????2ae?t2e?t??x?atx?at??????????????d?