2 在初始条件 v(x,t)|t?0??(x),程的解。 （10分）
解 令
vt(x,t)|t?0??(x)????x???下求这个方
v(x,t)?e??tu(x,t) （1）
??t 则 vt?e?ut??u?,vtt?e??t?utt?2?ut??2u?,vxx?e??tuxx
代入到原方程，得
222 utt?auxx?2?????ut???2????u?0
??则上式变成标准波动方程
utt?a2uxx?0 （4） 将变换（3）代入到初始条件，得
v(x,0)?e???0u(x,0)??(x) vt(x,0)?即
d???t?eu(x,t)?|t?0??(x) ??dtu(x,0)?v(x,0)??(x)?? （5）
ut(x,0)??(x)???(x)?于是求解定解问题（1）--（2）就转化为求解定解问题（4）--（5）。由D’Alembert 公式有
11x?at??x?at????x?at?? u(x,t)????2a?x?at??????????????d? 2?代入（3）式得原定解问题的解为 u(x,t)?
11?x?at??x?at????????2ae?t2e?t??x?atx?at??????????????d?