衢州、湖州、丽水2018年9月三地市高三教学质量检测
数学答案及评分标准
一、选择题：
1 A 二、填空题：
11.1，2 12. 4，2 13. 2?1，三、解答题：
18.已知函数f?x??3sin?xcos?x?cos（Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）若x0??22 B 3 D 4 A 5 C 6 D 7 B 8 B 9 A 10 C 1827 14. 2， 15. 18 16. 4 17. ? 637?x(??0)的最小正周期为?.
??7??,?且f?x0??3?1，求cos2x0的值. ?412?32解（Ⅰ）f?x??3sin?xcos?x?cos2?x? sin(2?x?31?cos2?x sin2?x?22?6)?1.......................................4分 2 因为T??，所以??1.............................................................6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?sin(2x??6)?1 2f(x0)??331 ?，所以sin(2x0?)?6332??????7??x?,2x???,??..............................................8分 因为0?，所以0?6?3??412?因为sin(2x0??6)?33 ?32所以2x0???2????,??，cos(2x0??)??6..................................10分 6?3?63cos2x0?cos(2x0?
??)?cos(2x0?)cos?sin(2x0?)sin??666666高三数学 参考答案及评分标准 第1页共6页
?????32?3.........14分 6
19．在四棱锥P?ABCD中，E是侧棱PC的中点，?PAB是正三角形，四边形ABCD是直角梯形，且
AD//BC，BC?CD,?ABC?60，BC?2AD?2，PC?3．
（Ⅰ）求证：DE//平面PAB；
（Ⅱ）求直线BD与平面PAB所成角的正弦值．
解；（Ⅰ）取PB的中点F，连EF,AF，---------------2分 因为EF是PBC的中位线，所以EF//BC，且EF?P E
1BC 2F 1 因为AD//BC，AD?BC，所以四边形EFAD是平行四边形，
2B 所以DE//AF，----------------------4分
又因为DE?平面PAB，AF?平面PAB， 所以DE//平面PAB-----------------6分
（Ⅱ）取AB中点Q，连PQ,CQ，
因为?PAB是正三角形，所以PQ?AB，------------8分 在直角梯形ABCD中，因为?ABC?60，BC?2AD?2，
计算得AB?AC?2，所以CQ?3，且CQ?AB，------------10分 所以AB?平面PCQ，即平面PCQ?平面PAB，
G A D
Q C
过点E作EG?PQ，垂足是G，连BG，则?EBG即是直线BD与平面PAB所成角，------12分
则?PQC中，PQ?QC?3,PC?3，所以EG?PEsin30?37，又BE?，--------14分 42所以sin?EBG?EG37，-----------------------15分 ?BE1437． 14所以直线BE与平面PAB所成角的正弦值是z P 解法2：如图，以D为原点，DA,DC为x轴，y轴建立空间直角坐标系， 由已知条件得，AB?2，DC?3，
所以D?0,0,0?，A?1,0,0?，C0,3,0，B2,3,0，----8分 x ????A E D
B y C 高三数学 参考答案及评分标准 第2页共6页
?x?12?y2?z2?4???2?933??22设P?x,y,z?，由??x?2??y?3?z?4得P?,?44,2??---------10分
???2?x2?y?3?z2?9??????533?所以AP??,?44,2??，AB?1,3,0，
??????5x?3y?6z?0由?得平面PAB的法向量是n?3,?3,?2，----------------12分 ??x?3y?0???7333?,?又BE???,??8?，-----------------------14分 84??sin??BE?nBEn?37----------------------------15分 1437． 14所以直线BD与平面PAB所成角的正弦值是?2220.设正项数列{an}的前n项和为Sn，a1?2，且1?Sn?1,3,1?Sn成等差数列(n?N).
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：n?1?1?11??S1S22?11?n? (n?N?). Sn2解：（Ⅰ）由题Sn?1?Sn?4，S1?4---------------2分
22所以数列Sn是以为4首项，4为公差的等差数列，所以 Sn?4n，
22??又an?0，所以Sn?0，所以Sn?2n--------------4分 当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?2n?1，
当n?1时，a1?2也满足上式，所以?n?N?都有an?2n?2n?1--------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn?2n，所以
1111????n?1?n-------8分 Sn2nn?nn?1?n11?所以 ?S1S2?1?n?1?1---------------------------------------------------10分 Sn高三数学 参考答案及评分标准 第3页共6页
111???n?n?1(n?2)------------------12分 又因为Snn?nn?n?1当n?2时
11??S1S2?111??n?1?n?------------------14分 SnS12当n?1时上式也成立 所以n?1?1?11??S1S2?11?n? (n?N?) ---------------------15分 Sn221．已知F是抛物线T:y2?2px(p?0)的焦点，点P?1,m?是抛物线上一点，且PF?2,直线l过定点?4,0?，与抛物线T交于A,B两点，点P在直线l上的射影是Q. （Ⅰ）求m,p的值； （Ⅱ）若m?0，且PQ2?QA?QB，求直线l的方程．
解：（Ⅰ）由PF?2得，1?p?2，所以p?2，-------------------------2分 2 将x?1,y?m代入y2?2px得，m??2，--------------------------4分 （Ⅱ）因为m?0，由（1）知点P?1,2?，抛物线T:y2?4x，
?x?ny?4设直线l的方程是x?ny?4，由?2得，y2?4ny?16?0，
?y?4x设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则y1?y2?4n，y1?y2??16，-----------------------6分 因为PQ2?QA?QB，所以PA?PB，所以PA?PB?0,且1?2n?4，----------8分
所以?x1?1??x2?1???y1?2??y2?2??0，且n??3，------------------------------10分 22由?ny1?3??ny2?3???y1?2??y2?2??0，得，n?1y1y2??3n?2??y1?y2??13?0，
???16?n2?1???3n?2??4n??13?0，4n2?8n?3?0，--------------------13分
31（舍去）或n??， 221所以直线l的方程是：x??y?4，即2x?y?8?0．---------------------15分
2解得，n??（Ⅱ）解法二：因为m?0，由（1）知点P?1,2?，抛物线T:y?4x，
2设直线l的方程是x?ny?4，由??x?ny?42?y?4x得，y?4ny?16?0，
2高三数学 参考答案及评分标准 第4页共6页
设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则y1?y2?4n，y1?y2??16，------------------6分 由??2?3n?x?ny?4解得Q点的纵坐标是y0?，------------------8分 21?n??y?2??n?x?1?2n?31?n2PQ?， -------------------------------------------10分
QA?QB???1?n2??y1?y0??y2?y0?
2???1?n2???16?4ny0?y0?，-------------------------------12分
因为PQ2?QA?QB，所以PQ??2n?3?1?n222?4n2?3n2?3n??????1?n2??16??22?1?n2?1?n???? ??化简得4n?8n?3?0，
231（舍去）或n??， ---------------------------14分 221所以直线l的方程是：x??y?4，即2x?y?8?0．--------------------15分
21222．已知函数f?x??x?x?a?x?lnx?(a?R)
2解得，n??（Ⅰ） 若函数f(x)无极值点，求a的取值范围；
（Ⅱ） 若1?a3a?x?， 记M?a,b?为g?x??f?x??b的最大值， 221.4
ax?x?1??a?x?1?? xx证明：M?a,b??ln2?'解：（Ⅰ）由题意f?x??x?1?a? ??x?a??x?1? -----------------------------------3分
x'由x?0,f?x??0得x?a，又f?x?无极值点，所以a?0 ---------------------5分
?a??3a,a?上单调递减，f?x?在?a,2?2???上单调递增， ??（Ⅱ）因为a?2，由（Ⅰ）可知f?x?在?2?3??a?1?92a??3aa?又f?a??f????a??????2?2??a?a?ln3? 22244???????? ?a?1?ln3??0
高三数学 参考答案及评分标准 第5页共6页
所以 f??3a??a??f??? -----------------------------------7分 2???2?a3a?x?时，f?a??f?x??22所以当
?a?f?? ?2?又因为 M?a,b??f??a???b,2??M?a,b??f?a??b-----------------------------------9分
所以 2M?a,b??f??a??a??b?fa?b?f?????-f?a?-------------------------------11分 ?2??2?a21a2?1?1?a?即 2M?a,b??f???f?a???a?aln2???ln2??a?2ln2?
828?2?2?2?所以M?a,b??ln2?1f?2??f?1?1??ln2?时取等号-------15分 ，当且仅当a?2,b?424高三数学 参考答案及评分标准 第6页共6页