?62??2f?x????24??
???2f?x?的各阶顺序主子式分别为：
6＞0，
6224?20＞0
?2f?x?是半正定的，所以f?x?是凸函数。
又对于条件g?x??x1，有?2g?x??0显然它是一个半正定矩阵，g?x?是凸函数，所以该非线性规划是一个凸规划。
?1?k??6?28、设f?x1,x2??4x12?x2,已知xk???1??,p???1??，试用解析方法求
????minfxk?tpk的极小点。
t?0???1???6??1?6t?解：由题可得x?tp???1???t??1?????1?t??
??????kk2带入f?x1,x2??4x12?x2,中得：fxk?tpk?4(1?6t)2?(1?t)2?145t2?46t?5
??即：
f?t??4(1?6t)2?(1?t)2?145t2?46t?5
所以
f??t??290t?46
令290t?46?0则t?46
290所以当t?46时minf?xk?tpk?最小
t?0290
9、用0.618法求一下问题的近似解min??t???2t3?21t2?60t?50已知函数的单
t?0谷区间?0.5,3.5?，要求最后区间精度??0.8 解：由题迭代过程如下表：
0 a 0.5 1 2 3 1.646 1.646 1.646 t1 t2 b 1.646 2.354 2.084 2.354 2.792 2.354 2.084 3.5 2.792 2.354 -0.783-0.961-1.938 ? ? ? 3.5 ?1 ?2换a 换b -0.961换a 2.652 换b -0.961 换b
第三轮迭代开始有b?a?2.354?1.646?0.708?0.8??，所以近似最优解为
t*?2.084,??t???1.938。
10、用Newton法求以下问题的近似最优解min??t??t4?4t3?6t2?16t?4给定
t1?6,??10?3.并用解析方法求出该问题的精确最优解，然后比较二者结果。 解：用Newton法求解如下：
先求出???t??4t3?12t2?12t?16 ????t??12t2?24t?12
t1?6,??10?3，计算结果列于下表： k tk 1 2 3 4 5
6 4.7356 4.1645 4.0105 4.0000 ???tk? 344 85.4592 14.8134 0.8860 ????tk? 276 145.0742 96.1687 84.7573 ?t??si?tn???作非精确一维搜索，取12、用Goldstein法对mi?nt?0t0?3?,m1?0.1,m2?0.7,增大探索点系数??2. 2
解：由题a0?0,b0?2?,?(0)?0,??(0)??1 又因为?(t0)?1,?(0)?m1t0??(0)?3? 20所以有：?(t0)??(0)?m1t0??(0) 令a1:?a0?1,b1:?t0?所以?(t1)??3?a?b3?选取新的探索点：t1?11? 22423?21? ,?(0)?m1t1??(0)??,?(0)?m2t1??(0)??24040即：?(t1)??(0)?m1t1??(0),?(t1)??(0)?m2t1??(0) 所以t1已同时满足规则到的两个要求，停止迭代 综上可得非精确解
14、求以下无约束非线性规划问题的最优解。
2（1）minf?x1,x2??2x12?x2?(x1?x2)2?20x1?16x2 2（2）minf?x1,x2??x12?x2?12x14
t1?3?4
?6x1?2x2?20?解：（1）?f(x)???2x?4x?16??，令?f(x)?0则有
2?1??6x1?2x2?201214Tx?(,) 由此可得：?55?2x1?4x2?16?62?又Hesse矩阵??24???0为正定矩阵
??1214所以整体最优解为：x*?(,)T
55?2x1?48x13??，令?f(x)?0则有 （2）?f(x)???2x?2????2x1?48x?06T?由此可得：x?(00)或x????12??2x2?031?0?? ?T?2?144x12又Hesse矩阵??0?0??当且仅当x?(00)T为正定矩阵 2??所以函数具有局部最优解x*?(00)T
23、写出下列问题的K?T条件，并求出它们的K?T点。
?min?x1?3?2??x2?2?2?22s.t.x?x?5?0?12（1）?
x1?2x2?4?0??x1?0,x2?0?解：由题该问题的lagrange函数是：
2L(x,?,?)??x1?3???x2?2???1x12?x2?5??2x1??3x2???x1?2x2?4?
22??又
?L?2?x1?3??2?1x1??2?? ?x1?L?2?x2?2??2?1x2??3?2? ?x2所以该问题的K?T条件问：
?2?x1?3??2?1x1??2???0?2?x?2??2?x???2??0123?222???1x1?x2?5?0 ??x?0?21??x?0?32???i?0,i?1,2,3??作为K?T点，除了满足以上条件外，还应当满足可行性的条件：
2?x12?x2?5?0??x1?2x2?4?0 ?x?0,x?012?经过讨论可得K?T点为
25、用wolfe法求解以下问题
?min??s.t.????2f(x1,x2)?2x12?2x2?2x1x2?4x1?6x2x1?x2?2x1?5x2?5xj?0,j?1,2
取初始可行点x0?(0,0)T,??10?6.
?min(x?1)226、用罚函数法求解问题?
?s.t.2?x?0（1）写出ck?0,1,10时相应的增广目标函数，并画出它们对应的图形。 （2）取ck?k?1(k?1,2,?),求出近似最优解的迭代点列。 （3）利用（2）求问题的最优解。