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（Ⅱ）当二面角B?DD??C为45时，求侧棱AA?的长度.
?解：（Ⅰ）法一：因为ABCD为菱形，所以AC?BD， 又A?O?平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以A?O?BD，A?O?AC?O，
D'A'B'C'BD?平面AA?C?C，
BD?平面BB?D?D,
所以平面AA?C?C?平面BB?D?D，
故不论侧棱AA?的长度为何值，总有平面AA?C?C?平面BB?D?D. 法二：由已知可证OA??OB,OA??OA,OA?OB, 分别以OA,OB,OA?为x,y,z轴建立空间直角坐标系
DAOBC
C'B'D'z A'O?xyz.
?3a?a??a??,0,0由已知得A?，,B0,,0D0,?,0? ?????2?2??2????设OA??h，则A??0,0,h?.
显然，平面AA?C?C的一个法向量为m??0,1,0? 设平面BB?D?D的法向量为n??x1,y1,z1?，
Dx AOBy C
??????????????3a??DB??0,a,0?，BB?AA????2,0,h??，
???????ay1?0?n?DB?03a??x?1,y?0,z?， 即，取, ???????3a1112hx1?hz1?0????n?BB??0?2?3a?n???1,0,2h??
??m?n?0，
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故不论侧棱AA?的长度为何值，总有平面AA?C?C?平面BB?D?D. （Ⅱ）设平面CDD?C?的法向量为p??x2,y2,z2?，
????????????????3aa?????3a??DC?AB???,,0DD?AA??,0,h， ???????22?2?????????p?DC?0, ????????p?DD??0.?????????3aax2?y2?0,22 3ax2?hy2?0.2?3a?3a，则p??1,3, , ???2h?2h?取x2?1,y2?3,z2?3a23a21?21?24h4h, cosn,m??3a23a23a24?21?24?24h4h4h又二面角B?DD??C为45，所以cosn,m??2, 2?3a2?3a23a22 , 4?2?2?1?2?， h?84h4h??3a23a232此时AA??h?OA???a，
84422故AA??32a . 418．【文科】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点. (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD； (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V. 解:(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC. 又BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD?平面PAD,EF?平面PAD, ∴EF∥平面PAD. (Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,
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则EG⊥平面ABCD,且EG=
1PA. 2在△PAB中，AD=AB,?PAB°,BP=2,∴AP=AB=2,EG=∴S△ABC=
2. 211AB·BC=×2×2=2, 221121S△ABC·EG=×2×=. 332311??2 32∴VE-ABC=
另解：VE?ABC?VC?ABE??1 3
2、…、8，19.【理科】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1、其中X?5为标准A，X?3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；
乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
X1
P
5 0.4
6 7 b
8 0.1
a
且X1的数字期望EX1?6，求a,b的值；
（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望. （Ⅲ）在（Ⅰ），（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”=
产品的等级系数的数学期望；
产品的零售价（2）“性价比”大的产品更具可购买性.
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解:（Ⅰ）因为EX1?6，
所以 5?0.4?6a?7b?8?0.1?6，即6a?7b?3.2， 又0.4?a?b?0.1?1，所以a?b?0.5，
?6a?7b?3.2,解方程组?解得a?0.3，b?0.2.
?a?b?0.5（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：
3 5 4
X2
6 0.1
7 0.1
8 0.1
f
0.3 0.2 0.2
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下表：
X2
P
3 0.3
4 5 0.2
6 0.1
7 0.1
8 0.1
0.2
所以EX2?3?0.3?4?0.2?5?0.2?6?0.1?7?0.1?8?0.1?4.8. （Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为6，价格为6元/件，所以性价比为甲厂的产品的等级系数的数学期望为4.8，价格为4元/件，所以性价比为
6?1， 64.8?1.2?1． 4所以，乙厂的产品更具可购买性． 19．【文科】有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5.同时投掷这两枚玩具一次，记m为两个朝下的面上的数字之和. （Ⅰ）求事件“m不小于6”的概率；
（Ⅱ）“m为奇数”的概率和“m为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论.
解：因玩具是均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等，出现的可能情况有 （1，1），（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，5） （3，1），（3，2），（3，3），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，5） 共16种 （Ⅰ）事件“m不小于6”包含其中（1，5），（2，5），（3，5），（3，3）（5，1），（5，2）， （5，3），（5，8）共8个基本事件 所以P(m≥6)=
81? , 1622223??? , 1616168（Ⅱ）“m为奇数”的概率和“m为偶数”的概率不相等. 因为m为奇数的概率为P(m?3)?P(m?5)?P(m?7)? 9
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M为偶数的概率为1?35?,这两个概率值不相等. 8820.【理科】设动点P到点A(?1，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，?APB?2?，若
d1d2cos2??1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
|EN|的最（Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x?4于点E，求|EM|?小值．
2解：（Ⅰ）在?PAB中 由余弦定理得|AB|2?d12?d2?2d1d2cos2?，
因为|AB|?2， d1d2cos2??d1d2(2cos2??1)?2d1d2cos2??d1d2?2?d1d2， 所以d1?d2?22?|AB|?2，
x2?y2?1. 所以点P的轨迹C是以A、B为焦点的椭圆，其方程为2（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设其方程为y?k(x?1)，M(x1,y1)，N(x2,y2),
?x2??y2?1,由?2消去y得 (1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0， ?y?k(x?1).??=16k?4(1?2k)(2k?2)
422?8k2?8?0，
4k22k2?2, x1x2?所以x1?x2?. 221?2k1?2k|EM|?1?k2(x1?4)2?1?k2(4?x1)，|EN|?1?k2(x2?4)2?1?k2(4?x2)，
|EM|?|EN|?(1?k2)(4?x1)(4?x2)
16k22k2?2?] ?(1?k)[16?4(x1?x2)?x1x2]?(1?k)[16?1?2k21?2k222 10