***15. 若 Indef?secnxdx，试证降阶递推公式：
In?1n?2(tanx)(secn?2x)?In?2。 n?1n?1证明：In??secnxdx?secn?2xdtanx
n?2? ?tanxsec ?tanxsecx?tan2x(n?2)secn?3xsecxdx x?(n?2)[secnxdx?secn?2xdx]
?n?2?? ?tanxsecn?2x?(n?2)[In?In?2] ?(n?1)In?tanxsecn?2x?(n?2)In?2，
tanxsecn?2xn?2 In??In?2.
n?1n?1
***16. 导出计算积分In?nx?cosxdx的递推公式,其中n为自然数.
解:In??xncosxdx??xndsinx?xnsinx??sinx?nxn?1dx
?xnsinx?n?xn?1dcosx
?xnsinx?nxn?1cosx?n(n?1)In?2,(n?2),
为了能启动运算，还必须求出 I1??xcosxdx??xdsinx?xsinx??sinxdx?xsinx?cosx?C, ?
I0?cosxdx?sinx?C.
第6章 （之4） 第28次作业
教学内容：§6.1.4几种特殊类型函数的积分 **1.
?2x?3dx. 2x?8x?16 79
解：
2(x?4)?52x?32x?325， ????2222x?4(x?4)x?8x?16(x?4)(x?4)5?C. x?4? 原式?2lnx?4? ***2.
8x?7?9x2?12x?5dx.
258(x?)?8x?78x?733 ??解：29x?12x?5(3x?2)2?1(3x?2)2?1165?33dx??dx ? 原式??29x?12x?5(3x?2)2?18x?85(9x?6)dx?3??dx ??9229x?12x?5(3x?2)?14d(9x2?12x?5)5d(3x?2) ?? ??2299x?12x?591?(3x?2) ?
45ln(9x2?12x?5)?arctan(3x?2)?C. 993x4?3x2?1dx. **3.
x2?1?解: 原式?x?arctanx?C.
**4. 求
3
?dx.
(3?x2)?2x211?23解: 原式? ? **5. 求?(11?)dx 22x3?x111x(?)?arctan?C. 6x633dx?x3?2x2?x.
80
解:?dx1?111? ?dx???dx ?322?2??x?2x?xx(x?1)?xx?1(x?1)?1111?lnx?lnx?1??C. dx?dx?dx?x?x?1?(x?1)2x?1
?**6. 求dx?1?sinx.
解:dx1?sinx??1?sinx?(1?sinx)(1?sinx)dx 1sinxdx??cos2x?cos2xdx dcosx1?tanx??C. ?tanx?? 2cosxcosx2答案也可以是： ??C
x1?tan2 ?
**7. 求1?tanx?sin2xdx. 1?tanx11?tanx11?tanx解:?dx??dx??dtanx
sin2x2sinxcosx2tanx11111dtanx??dtanx?lntanx?tanx?C. ??2tanx222
**8. 求cos2x?(1?sinx)(1?cosx)dx.
cos2x(cos2x?sin2x)(1?sinx)(1?cosx)解:??(1?sinx)(1?cosx)(1?sin2x)(1?cos2x)22
cosx?sinx(1?sinx?cosx?sinxcosx)22cosx?sinx1sinxcosx1cosxsinx?csc2x?sec2x?????? 22sinxcosxsinxcosxsinxcosx???cos2xdx1dcosx??csc2xdx??sec2xdx??dx??
(1?sinx)(1?cosx)sinxcos2x ?dsinx1dsinxdcosx?dx???sin2x?cosx?sinx?cosx 11??cotx?tanx?lncscx?cotx???lnsecx?tanx
cosxsinx81
?lnsinx?lncosx?C. **9.
?xx?1?x?14dx.
4解：令4x?1?t， ?x?t?1，
t4?13t2(t2?1)(t?1)(t?1)4tdt?4?dt ? 原式??1?tt?t2?4?t2(t2?1)(t?1)dt =4?(t5?t4?t3?t2)dt
?4?? **10.
?t2(x?1)4(x?1)4(x?1)ttt????(x?1)??C. ?????c?3536543??1x2556543325434??x???dx. x?1??3解：令
t55t4x dx?dt ?t ?x?5521?tx?1(1?t)5?5(1?t5)235t4?3???5tdt??ct?dt? 原式??2t10(1?t5)22t2?5?x?1????C. ?x?2 **11.
?dxx?2x?3x636.
解：(令x?t)
6t5dt18112?6[t?2t?7?(?)]?dt 原式??32?t?2t?3t4t?3t?12433lnt?3?lnt?1?C 2224363?2x?63x?426x?lnx?3?ln6x?1?C.
22?2t3?6t2?42t?
***12.
?dx4x(1?x)7.
82
解：原式??41?xdx?x(1?x)24(令1?x1?t,x?4) xt?144?x?441(t4?1)2?4t3???dt???C??t??dt???C. 3?1?x?3t3t4t8(t4?1)2?3
第6章 （之5） 第29次作业
教学内容：6.2.1定积分的换元法 6.2.2定积分的分部积分法
?**1. 计算积分??4 0(tan2x?sec2x)dx．
?2解: 原式? **2.
?404?2?(2secx?1)dx??2tanx?x?0?4.
?212x?earctan(x?1)dx. 42x?2x?22解：原式??212earctan(x?1)2arctan(x2?1)2d(x?1)?ed[arctan(x?1)] ?221(x?1)?12?earctan(x
2?1)12??e4?1 .
2x?1??1x2?3x?2dx.
05?3?)dx 解：原式??(?1x?2x?1**3.
0?(5lnx?2?3lnx?1)0?1
?8ln2?5ln3.
**4.
?3412x?1x?x2dx.
83