解：原式??3412x?111?(x?)242?60dxx?11?sint22???606013sint?221costdt 12cost2 *5.
??1313(sint?)dt?(?cost?t)2222??4?13. ?24?31dxx21?x2.
?解： 令x?tan?，原式???34sec?d?cos??d?13????sin?tan2??sec??4sin2?2??3?4?2?23. 3
?***6. 计算I??2e2xsin2xdx．.
012x解: I??ecos2x2???20???2e2xcos2xdx
0
112?(e??1)?e2xsin2x0??2e2xsin2xdx022????
1?(e?1)?I, 21故原式?(e??1).
4? **7.
?e1cos(?lnx)?dx.
e解：原式?xcos(??lnx)1??e1x?sin(??lnx)?2?x?dx
??1?x?sin(??lnx)1?? ??1?e????? **8.
2e?e1cos(??lnx)dx
?e1cos(?lnx)?dx??e?1.
1??2?e1e|lnx|dx.
84
解：原式?
?1?lnxdx??lnxdx?(?xlnx?x)1?(xlnx?x)1?2?e11e1ee2. e2|x|?2,?0，***9.设f(x)?? 求 ?xf(x?1)dx. 2?24?x,|x|?2,?解：
?2?2xf(x?1)dx令x?1?t?1?3(t?1)f(t)dt
1?2 ???2?3(t?1)?0?dt??(t?1)(4?t2)dt??(4t?t3?t2?4)dt
?211127. ?(2t?t4?t3?4t)?434?221
**10. 求
?1?1[2arctanx??2?4(arctanx)2]2dx.
解： 原式??1?11[?2?4arctanx??2?4(arctanx)2]dx
???2?dx(?4arctanx??2?4(arctanx)2为奇函数)?2?2.
?1
***11. 设f(3x?1)?xe，求0x2?10f(t)dt．
0x2解:
?10f(t)dtt?3x?1?13f(3x?1)dx?3?1xedx
?3?30x20?13
?x?6?1xde?6?xe2?3???2e?16???1edx? ?3??0x2?16
?12e?x20?13?14e?12.
t?16
t?1t?1e解法二: 令x?,则有f(t)?33,所以
?
10f(t)dt?2(t?1)et?16t?11?11?2?ebdt?14eb?12.
00***12. 设?ln4dte?1t x??6，求x．
85
解: 令 e?secu，
x????2?arccose?，则 原式??3x2du?2??3??arccose2t2???2??? ?2arccose2?， arccose2?， 364xxe?x2?cos?4?x11， ??ln，
222x?ln2.
另解：
?t2?tt2ln4x??????2arcsine2?，
36x?ln4xdte?1t??2??x2ln4xde1?e??2arcsine?x2?即 2arcsine
??2，arcsine??4， 所以 x?ln2.
**13.若 f(x)在[?a,a]上连续（a?0），试证明：
??a?af(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx，
0a并计算积分
a?a0?adx???41?sinx.
4证：
?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(在第一积分中令x??t)
00a0a
???f(?t)dt??f(x)dxa??f(?x)dx??f(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx,000aaa
dx11244[4??]dx????41?sinx?01?sinx1?sinx?01?sin2x?dx
?????2?
40?1dx?2tanx04?2． 2cosx***14．设函数f(x)是区间[0，1]上的连续函数，试用分部积分法证明
?1f(u)du?dx?1f(u)udu。 ?0??0???x?86
1
1111证：???f(u)du?dx?(x?f(u)du)??xf(x)dx??uf(u)du.
?0?x00?x?011****15．试证递推公式 In?0def??0xsinnxdx?n?1In?2. n证： In??x?sinnxdx????xsinn?1xdcosx
0?0 ??x?sinn?1x?cosx??cosx[sinn?1x?(n?1)x?sinn?2x?cosx]dx
0???sin0?n?1xdsinx?(n?1)?x?sinn?2x?cos2x?dx
0?1?sinnxn?0?(n?1)?x?sinn?2x(1?sin2x)dx
0? ??(n?1)??0x?sinnx?dx?(n?1)?x?sinn?2xdx
0???(n?1)In?(n?1)In?2，
?In?
n?1In?2. n
2nIn?1，n?N．
02n?111112n?122n?1xd(1?x2)n 证: In??(1?x)dx??x(1?x)dx?In?1??002n011?2n??I?1I, ?In?1?x(1?x2)n1?(1?x)dx0n?1n?0???2n2n?2n所以 In?In?1.
2n?1***16. 设In??(1?x2)ndx，试证1In?
**17．设f(x)是以l为周期的连续奇函数，试证明，f(x)的任意原函数都是以l为周期的周期函数.
证：设f(x)的任意原函数为F(x)，则 F(x)? F(x?l)??x0， f(t)dt?C（C为某一常数）
?x?l0xf(t)dt?C
x?lxl2l?2??f(t)dt??0f(t)dt?Cf(t)dt?C??f(t)dt?C?F(x)0x
??f(t)dt??0x
87
?f(x)的任意原函数都是以l为周期的周期函数.
***18. 设f(x)在(??，??)上连续，且对任意x都有 试证：f(x)为周期函数．
?x?lx f(t)dt?l，l为非零常数．证明：：
在?x?lxf(t)dt?l等号两边也对x求导，有f(x?l)?f(x)?0,即f(x?l)?f(x),所以f(x)是以l周期的周期函数。
***19. 设F(x)?证: F(?x)???0 ln(1?2xcost?x2)dt , 证明：F(x)为偶函数．???0ln(x2?2xcost?1)dt， 令 t???u，
0F(?x)???ln(x2?2xcosu?1)du
? ?
?0ln(x2?2xcost?1)dt?F(x).
第6章 （之6） 第30次作业
积分法练习
一、求下列积分 ：
1.
?xarccos(lnx)1?lnx2dx.
解 原式??arccos(lnx)1?lnx2d(lnx) ??arccos(lnx)d[arccos(lnx)]
? ??
1[arccos(lnx)]2?C. 2e2x?3dx. 2. ?2x?34e?5 88