2016中考数学动点问题及答案
专题一：建立动点问题的函数解析式
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式
例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.
(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH?x,GP?y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围).
(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.
解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有
221?长度保持不变的线段，这条线段是GH=3NH=32OP=2.
(2)在
Rt△POH
中, OH?OP?PH?36?x222B P
N , ∴
O M 图1
.
yG x
A
MH?11OH?36?x222.
H
在Rt△MPH中,
MP?PH2?MH2?x2?9?121x?36?3x2422136?3x2∴y=GP=3MP=3 (0 (3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况: 136?3x2?x①GP=PH时,3,解得x?6. 经检验, x?6是原方程的根,且符合题意. 136?3x2?2②GP=GH时, 3,解得x?0. 经检验, x?0是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH时,x?2. 综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年2山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y. (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式； 1 (2)如果∠BAC的度数为?,∠DAE的度数为?,当?,?满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由. 解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ABBD?CEAC, ∴△ADB∽△EAC, ∴ A D B 图2 C E 1x1?y?x. ∴y1, ∴ (2)由于∠DAB+∠CAE=???,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=关系式成立, 90???2,且函数 B F 90??∴ ?2=???, 整理得 ???2?90?. C 3(1) P D ● A E O 1???y?290?时,函数解析式x成立. 当 例3(2005年2上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F. (1)求证: △ADE∽△AEP. (2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP的长. 解:(1)连结OD. 根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴ ?P F B D C 3(2) E ● O A ODxADx??3545, OD∥BC, ∴, 3438xxx?xx5555∴OD=,AD=. ∴AE==. 84xx5?525AEAD816y?xy?x0?x?8). AE, ∴5 (5. ∴∵△ADE∽△AEP, ∴AP2 (3)当BF=1时， ①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4. ∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. 85xx?8.可求得y?2,即AP=2. ∴5-5=4,得 ②若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. 815xx?8. ∴5-5=2,得 可求得y?6,即AP=6. 综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年2上海）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y. (1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时, △AOC的面积. 解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H. A B O H 图8 C 1∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=2BC=2. ∴OC=4-x. S?AOC?1OC?AH2, ∴y??x?4 (0?x?4). ∵ (2)①当⊙O与⊙A外切时, 在Rt△AOH中,OA=x?1,OH=2?x, ∴(x?1)?2?(2?x). 解得 222x?76. 此时,△AOC的面积y= 4?717?66. ②当⊙O与⊙A内切时, 在Rt△AOH中,OA=x?1,OH=x?2, ∴(x?1)?2?(x?2). 解得 222x?72. 此时,△AOC的面积y=3 4?71?22. 171综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为6或2. 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，?ABC中，AB?AC?10，BC?12，点D在边BC上，且BD?4，以点 D为顶点作?EDF??B，分别交边AB于点E，交射线CA于点F． （1）当AE?6时，求AF的长； （2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时， 求BE的长； （3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长． [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系 (相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点B在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法] 1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程． AFEDC2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R±r(R?r)建立方程． 3．解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. [ 略解] CFCD??CDFBDBE ，代入数据得CF?8，∴AF=2 ?EBD解：（1） 证明∽∴ （2） 设BE=x,则d?AC?10,AE?10?x,利用（1）的方法 CF?32x， 4 10?10?x? 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切， 32x，x?42； 10?10?x?内切， 32x，x?10?217．?0?x?10 ∴当⊙C和⊙A相切时，BE的长为42或10?217． （3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时， BE?203． 类题 ⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、 ⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题． （二）线动问题 在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长； 1(2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝4AC，设AD的长为x，五边形BCDEF 的面积为S.①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值范围； l A O E A′ D 3②探索：是否存在这样的x，以A为圆心，以x?4长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． [题型背景和区分度测量点] 本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二． [区分度性小题处理手法] 1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法． 2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程． 3．解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. [ 略解] B C l A O F B C E D 1(1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝2AC ∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6 BC?33 x2?91122AO?x?9AF?(x?9)AE?2AC?x?94124x (2)①，，， 5