1.分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置.
由题意知，点P为动点，所走的路线为：A→B→C速度为1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，进而求出△APE的面积.
略解：由AP=2 ，∠A=60°得AE=1，EP= . 因此.
2.分析：两点同时运动，点P在前，点Q在后，速度相等，因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后，又到BC边上运动.因此PM、QN截平行四边形ABCD所得图形不同.故分两种情况： （1）①当P、Q都在AB上运动时，PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6. ②当P在BC上运动，而Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6＜t≤8.
⑴略解：①当P、Q同时在AB边上运动时，0≤t≤6.
AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函数PG=(t+2),
FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =·(QF+PG)·FG=[t+(t+2)]·1=t+.
②当6＜t≤8时，
S=S平行四边形ABCD-S△AQF-S△GCP.
易求S平行四边形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t2.
而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得∴PG=
(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2.
∴S=16-t2-(10-t)2=(6＜t≤8
⑵分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最
大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6＜t≤8时的最大值. 0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当 6＜t≤8时,是二次函31
数,应用配方法或公式法求最值.
略解：由于所以t=6时，S最大＝；
由于S＝(6＜t≤8,所以t=8时，S最大=6
.
.
综上所述, 当t=8时，S最大=6
例2．（2006年锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方). 1.求A、B两点的坐标；
2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式； 3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？ 1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标. 解：∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，
∴OA=AB=BC=CO=4.如图①，过点A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD= ∴A(2,
)，B（6,
）.
.
2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，△MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一. 直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：
①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交(如图①). ②2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交(如图②). ③4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交(如图③).
略解：①∵MN⊥OC，∴ON=t. ∴MN=ONtan60°=.∴S=ON·MN=t2.
②S=ON·MN=t·2=t.
-(t-4)=6
-t,
③方法一：设直线l与x轴交于点H.∵MN＝2
∴S=MN·OH=(6-t)t=-t2+3t.
方法二：设直线l与x轴交于点H.∵S=S△OMH-S△ONH，∴S=t·2-t·(t-4)=
32
- t2+3t.
,
·(t-2)=
t-2
,
方法三：设直线l与x轴交于点H.∵S=
=4×2
=8
,
=
·2
=·4·(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2,
∴S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t.
3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值.
略解：由2知，当0≤t≤2时， 当2＜t≤4时，
=4
；
=×22=2；
当4＜t≤6时，配方得S=-(t-3)2+，
∴当t=3时，函数S＝-t2+3t的最大值是.
但t=3不在4＜t≤6内，∴在4＜t≤6内，函数S＝-t2+3t的最大值不
是.
而当t＞3时，函数S＝-上所述，当t=4秒时，
=4
t2+3.
t随t的增大而减小，∴当4＜t≤6时，S＜4. 综
练习1 （2006年南安市）如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，
AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动． ⑴求P点从A点运动到D点所需的时间； ⑵设P点运动时间为t（秒）. 当t＝5时，求出点P的坐标；
若⊿OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）． 解:（1）P点从A点运动到D点所需的时间＝（3+5+3）÷1＝11（秒）. 33
（2）当t＝5时，P点从A点运动到BC上，此时OA=10,AB+BP=5，∴BP=2. 过点P作PE⊥AD于点E，则PE=AB=3,AE=BP=2. ∴OE=OA+AE=10+2=12.∴点P的坐标为（12，3）． 分三种情况：
．当0＜t≤3时，点P在AB上运动，此时OA=2t,AP=t，∴s=×2t×t= t2.
．当3＜t≤8时，点P在BC上运动，此时OA=2t，∴s=×2t×3=3 t.
．当8＜t＜11时，点P在CD上运动，此时OA=2t,AB+BC+CP= t，
∴DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- t.∴s=×2t×(11- t)=- t2+11 t.
综上所述，s与t之间的函数关系式是：当0＜t≤3时，s= t2；当3＜t≤8时，s=3 t；当8＜t＜11时，s=- t2+11 t .
练习2 如图，边长为4的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE． （1）当CD=1时，求点E的坐标；
（2）如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由． 解：(1) 正方形OABC中，因为ED⊥OD，即∠ODE =90°，所以∠COD=90°-∠CDO，而 ∠EDB =90°-∠CDO，所以∠COD =∠EDB.又因为∠OCD=∠DBE=90°，所以△CDO∽△BED.
所以，即，BE=，则.因此点E的坐标为（4，）．
(2) 存在S的最大值．
由于△CDO∽△BED，所以，即，BE=t－t2.
×4×(4＋t－t2)．
故当t=2时，S有最大值10．
1、（09包头）如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A
点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
34
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边
解：（1）①∵t?1秒， D 上相遇？
A ∴BP?CQ?3?1?3厘米，
B ∵AB?10厘米，点D为AB的中点， ∴BD?5厘米．
又∵PC?BC?BP，BC?8厘米， ∴PC?8?3?5厘米， ∴PC?BD． 又∵AB?AC， ∴?B??C， ∴△BPD≌△CQP． （4分）
②∵
vP?vQ， ∴BP?CQ，
又∵△BPD≌△CQP，?B??C，则BP?PC?4，CQ?BD?5，t?BP4∴点P，点Q运动的时间
3?3秒，
vCQQ?t?5154?4∴
3厘米/秒．
（7分）
（2）设经过
x秒后点P与点Q第一次相遇，
15x?3x?2?10x?80由题意，得4，解得3秒． 80P?3?80∴点共运动了3厘米．
35
Q P C