由于n?N?，?n，能找到nk，使得n?nk，而xn?xn?a，即?xn，有xn?a。
k?使xn?a??，而?xn?单增，?xn??n??nk??，有xn??xn??a??， ② ???0,?xnkkk由①，②可知a?sup?xn?
limxnk?a????0,?k?K,有xn?a??，取N?nk，则n?N?nk时有xn?xnk
kk??于是a???xn?xn?a，即xn?a??即???0,?N?nk,当n?N时，xn?a??，
k故limxn?a，充分性得证
n??3、设lim?asinx?bcosx?存在，证明a?b?0。
x??证明 lim?asinx?bcosx?存在，设为A，由归结原理，当xn?2n?,xn?2n??x???2,xn?2n??3?2
时，且当n??,asinxn?bcosxn?A故
????????A?lim?asin2n??bcos2n??limasin2n???bcos2n???????????? ?n???n???22???????3??3??????lim?asin2n?1??bcos2n?1??limasin2n???bcos2n?????????????n???n???2?2????? ?A?b?a??b??a?a?b?0
4、在x0的某邻域内g?x??f?x??h?x?且limg?x??limh?x??A，证明：
x?x0x?x0x?x0limf?x??A。
证明?xn?x0 xn?x0 limg?x??limh?x??A?limg?xn??limh?xn??A，当nx?x0x?x0x?x0x?x0充分大时，xn将落在x0的某个邻域之内，从而g?xn??f?xn??h?xn?。令n??，由夹逼准则limf?xn??A，再由归结原理有limf?x0??A。
n??x?x05、设f?x?在x0的某个邻域?x0??,x0???内有定义，若对任意满足下列条件的数列
x?x0?n?1x?nlimf?xn??A，x0，都有
n???xn???x0??,x0???,xn?证明limf?x??A?xn?。
x?x0x0?n???,0?证明 若limf?x??A，则??0?0，???0,?x，当0?x?x0??时，f?x??A??0
x?x0取?1?1，存在x1，当0?x1?x0?1时，f?x1??A??0
取?2?x1?x0,?x2,，当0?x2?x0?x1?x0时，f?x2??A??0
? ?
?取?n?xn?1?x0,?xn,，当0?xn?x0?xn?1?x0时，f?xn??A??0 取?n?1?xn?x0,?xn?1,，当0?xn?1?x0?xn?x0时，f?xn?1??A??0 继续下去可得数列满足limxn?x0，且0?xn?1?x0?xn?x0使得
n??f?xn??A??0。这与limfn???xn??A矛盾。
6、证明：limf?x??A的充要条件时：对每个严格单调递增的正无穷大的数列?xn?都有
x??limf?xn??A。
x??证明：必要性。limf?x??A????0,?X,当x?X时，f?x??A??
x??limxn???,则对于G?X,?N,当n?N时有xn?G?X，故fn???xn??A??，即
limfx???xn??A。
充分性。设limf?x??A???0?0,?X,?x,当x?X时，f?x??A??0
x??取X1?1,?x1?1,f?x1??A??0 取X2?x1,?x2?x1,f?x2??A??0 …………
取Xn?xn?1,?xn?xn?1,f?xn??A??0
继续下去可得到一严格单增的数列?xn?,xn???,f?xn??A??0,矛盾。
习题 2—5
1、设?an?是有界数列，若?bn?满足lim?an?bn??0，证明存在l和子列?anx??k?,?b?，使
nklimank?l?limbnk。
k??k??证明 因?an?是有界数列，由致密性定理，存在收敛子列?ank?，设limak??nk?l。因为
lim?an?bn??0，故?an?bn?收敛，故必有界），因此存在收敛子列ank?bnkx????，再由
k??lim?an?bn??0可得子列 an?bn满足lim?ank?bnkkkx????x????0，从而limak??nk ?l?limbnk。
2 、有界数列?xn?发散，证明：存在两个子列xn????,?x???收敛于不同的极限。
12'kn'k证明 由于数列?xn?有界，于是必存在收敛子列。若?xn????收敛于相同的极限，则
?1?'k,xn?2?'k?xn?将收敛，矛盾。
补充证明：若?为点集S的聚点，则S中含有异于?的数列收敛于?
证明：根据聚点定义：???0，则???,??中至少存在S中的异于?的一个点。 取?1?1,，则?x1??,r?x1,????1?1 取?2?min?,r?x1,???，则?x2??,r?x2,??2??1????2
…………
取?n?min?,r?xn,???,，则?xn??,r?xn,??n??1????n
得到S中的一个点列?xn?满足条件： 0?r?xn,???r?xn?1,???????r?x1,???1 ①
??1n0??r?xn,? ②
在②中令n??，有r?xn,???0，即xn?? 即S中存在异于?的点列?xn?收敛于??n???。 反之，结论也正确。
S中存在异于?的点列?xn?收敛于?????0,?N,当n?N时，0?r?xn,????，证明：
取n?N?1，有0?r?xN?1,????即???0,U??,??中至少存在S中异于点?的点xN?1，由聚点的定义，?为点集S的聚点。
习题 2—6
1 、设f?x?在?a,b?内有定义，a?c?d?b，若?x??c,d?，?Mx?0及?x?0，使得
x?，x????x??x,x??x?，有f?x???f?x????Mxx??x??。证明：
?M?0,?x?,x????c,d?，有f?x???f?x????Mxx??x??。
证明 因为?x??c,d?,???x?,x??,Mx?且0?x?0，使x?,x????x??x,x??x?时
f?x???f?x????Mxx??x??。在?c,d?上每一点都找到这样的??x,?x?，这些开区间的
全体覆盖?c,d?。由有限覆盖定理，必存在有限个开区间覆盖?c,d?。记为
?x1??x1,x1??x1,x2??x2,x2??x2???xk??xk,xk??xkx2????i?，设x1?x2????xk，且相应的
Mx为Mx1,M,???Mxk且显然有?xi??x???xi?1??xi?1
?①若x?,x??属于?xi??x,xi??xii??1?i?k?，则
?\Mxix??x???Mx??x???M?max?Mi??
f?x???f?x???②若x?,x??属于不同的邻域，设x??x??，且x???xi??xi,xi??xi?， ???xk?1??xk?1,xk??xkx????xj??xj,xj??xj?，取xkf??k?i,i?1???j?可得
?f?x???f?x????f?x???f?xi???f?xi??????f?x?j??f?x????x???f?xi??
?f?M?xi???f?xi??1?xi????f?x???f?x???j?Mxix??xi??????Mxjx?j?x??
?Mxi?1?????Mxjx??x???Mx??x??M?M?x1?Mx2?????Mxk?
综上①②原命题得证。
2设f?x?在?a,b?上连续且恒正，试用有限覆盖定理：f?x?在?a,b?上有正的下界。 证明：在?x0处，有limf?x??f?x0??0，根据实数的稠密性，?Mx，使得
x?x00x?x0limf?x??f?x0??Mx0?0，由
??x0,?x0，使?x??x0,?x0，
????有f?x??Mx0再根据x0的任意性，在?a,b?上每一点均能找到这样的??x,?x?，这些开区间的全体构成一开区间，且覆盖?a,b?，由有限覆盖定理，必存在有限个邻域覆盖?a,b?，设为?x1??x,x1??x?????xk??x,xk??x11kk?，相应的M?0，对
x0为Mx,Mx???Mx12k?Mxi?0，取
?M?minMx1,M?x2???Mxk?，显然M?x??a,b?，有f?x??min?Mx1,Mx2,???Mxk??M，即证f?x?存在正的下界。
3 用有限覆盖定理证明闭区间套定理 证明：
（1）证明闭区间套存在公共点?。假设不存在公共点。则?x，存在开邻域?x，至少有某 一个?an,bn?与?x不相交，于是n?n0时，?an,bn?更与?x不相交。由有限覆盖定理，存
??00在有限开区间?1,?2,????m把闭区间?a1,b1?覆盖。 由上可知，?N1，当n?N1时，?1与?an,bn?均不相交 ?N2，当n?N2时，?2与?an,bn?均不相交 ?
?Nm，当n?Nm时，?m与?an,bn?均不相交
取N?max?N1,N2???Nm?，当n?N时，?1,?2,????m均与?an,bn?不相交，即?a1,b2?与这些?an,bn?不相交，这与?an?1,bn?1???an,bn?矛盾。
（2） liman?limbn??，因?是?an,bn?的公共点，即?n，有???an,bn?即
n??n??an???bn?0???an?bn?an，而由lim?bn?an??0可知，lim???an??0n??n??，
而liman??，又lim?bn?an??0，故
n??n??limbn?lim?an???liman?limbn??。 ?bn?an??an??bn?an??lim??limn??n???n??n??n??n??（3）唯一性；设存在????an,bn??an????bn，但是liman?limbn??，由夹逼准则，
n??n??令n??，有????。
习题2-7
1 用柯西收敛原理判定下列数列的收敛性。 （1）xn?cos12?cos222?....?cosn2n
1???解 ???0，取N??log2?，则当n?N时，有
??