xn?p?xn?cos?n?1?2n?1?cos?n?2?2n?2?...?cos?n?p?2n?p
?12n?1?12n?2?...?12n?pp1??1??1????n?1?2?2??1?????n??
121?2n?1（2）xn?1?12?13?...???1?1n
11解 ?p，???0，取N?,当n?N时，有xn?p?xn????
???n?1n??2 满足下列条件的数列?xn?是不是柯西数列？ （1）?p?N，limxn?p?xn?0
n???1?解 limxn?p?xn?0????0,?N,n?N时，?p?N，xn?p?xn??
n??（2）xn?1?xn?kxn?xn?1?0?k?1?
xn?p?xn?xn?p?xn?p?1?xn?p?1?xn?p?2?xn?p?2?...?xn?1?xn
kn?1??kn?p?2?kn?p?3?...?kn?1?x2?x1??1?k?p1?kx2?x1
故limxn?p?xn?0，故?xn?是柯西列。
n??n（3）?xk?1?xk?M
k?1n解 令yn??k?1xk?1?xk，则?yn?单调递增有上界，故?yn?收敛，故???0,?N,当
m?1?n?1?N时，有ym?1?yn?1??。故xm?xm?1?xm?1?xm?2?...?xn?1?xn??，
于是???0,?N,当m?n?N?1时，有xm?xn??。故?xn?是柯西列。 3 证明limf?x?存在的充要条件为???0,?Xx????0，当x?,x??\?X时，恒有
f?x???f??x??\??。
?2x???证明：必要性。设limf?x??A????0,?X,当x?X时有f?x??A?
故当x?,x??\?X时，有
f?x???f?x????f?x???A?A?f?x????f?x???A?A?f?x?????
充分性。???0,?X?0，当x?,x??\?X时，恒有f?x???f?x?????2。
?2设xn???n???，则???0,?N,当n?N时，有?p,f?xn?p??f?xn??故数列?f?xn??收敛，不妨设limf?xn??A。当n?N时，
n???
A?f?xn??limfp???xn?p??f?xn???2。
即当x?X时，取n?N,则xn?X，有
f?x??A?f?x??f?xn??f?xn??A?f?x??f?xn??f?xn??A??
故limf?x?存在。
x???注：也可利用第四节第6题的结论直接给出证明。