【第六单元 100以内的加法和减法（二）】
学生在第四单元《100以内的加法和减法（一）》里，已经掌握了口算两位数加、减整十数，不进位的两位数加一位数，不退位的两位数减一位数；学会了笔算不进位的两位数加两位数，不退位的两位数减两位数。以这些知识和能力为基础，本单元继续教学100以内的加法和减法，包括需要进位的两位数加一位数或两位数，需要退位的两位数减一位数或两位数。其中两位数加、减一位数的运算要求口算，两位数加、减两位数的运算用笔算。通过本单元的教学，学生的计算能力会有明显的提高。全单元的教学内容编排成四道例题，紧紧抓住进位与退位的方法稳步展开。 计算形式 口 算 笔 算 单元复习 例题的内容 例1 两位数加一位数的进位加法 例2 两位数减一位数的退位减法 例3 两位数加两位数的进位加法 例4 两位数减两位数的退位减法 练习的内容 练习十一着重练口算 练习十二着重练笔算 练习十三着重练口算 练习十四着重练笔算 整理全单元的计算知识，应用教学的计算解决实际问题 从上表里可以看到，教材的内容编排有四个特点。①先教学口算，后教学笔算。这样的编排有利于课堂教学加强口算、稳住笔算，培养计算能力。学生从口算里获得的进位、退位经验，能促进笔算的学习，发挥其主动性和能动性。②每一道例题都有明确的教学内容和任务，各突出一个教学重点，分别突破一个教学难点。有利于课堂教学扎扎实实地展开，并能及时反映出教学效果。③为每一个例题都配备一个练习，有利于通过练习实现教学目标，把培养学生的计算能力落到实处。④没有安排解决实际问题的新内容，有利于教学集中精力于进位、退位的原理和方法上，
1. 先特殊后一般、先原理再方法，精心安排教学线索。
例1编排了两道算式教学进位加法，其中24＋6的和是整十数（两个加数个位上的数相加刚好得10），24＋9的和是非整十数（两个加数个位上的数相加得十几）。例2编排两道算式教学退位减法，其中30－8是整十数减一位数（退位减的那一步是10减几），34－8是非整十数减一位数（退位减的那一步是十几减几）。例3计算34＋16，和是整十数，“试一试”计算65＋28，和是非整十数。例4计算56－26，被减数是整十数，“试一试”计算43－27，被减数是非整十数。可以看到，口算与笔算的进位加法都先教学和是整十数的情况（特殊情况），后教学和是非整十数的情况（一般情况）；口算与笔算退位减法都先教学被减数是整十数的情况（特殊情况），后教学被减数是非整十数的情况（一般情况）。这是教科书教学设计的编排线索。
加法里的进位、减法里的退位，都是十进制计数法的计数规则在计算时的具体应用。学生学习进位加法和退位减法，必须理解其进位原理和退位原理，懂得为什么“个位满10要向十位进1”、为什么“十位退1到个位要作10”。先教学加、减法中的特殊情况，凸现了进位与退位的基本原理，有利于学生懂得并掌握进位、退位的方法。进位加法的特殊情况，两个加数个位上的数相加刚好满10，学生容易理解“10个一是十”，应该向十位进1。退位减法的特殊情况，被减数个位上是0，学生容易根据“1个十是10个1”，清楚地看到“向十位退1到个位上作10”的过程。
另外，计算进位加法、退位减法，一般情况比特殊情况要稍复杂些。如特殊情况的退位减法，个位上算的是10减几，一般情况的退位减法，个位上算的是十几减几。先特殊后一般的安排，也体现了教学由简单到复杂的组织规律。
口算加法和口算减法的例题里，都在一个情境中提出两个不同的问题，分别列出特殊情况的算式和一般情况的算式，依次教学它们的计算。笔算加法和笔算减法的例题里，只教学特殊情况的计算，把一般情况安排在“试一试”里，让学生尝试着计算。这些编排，充分考虑了学生的学习需要。在初步教学进位加、退位减的时候，适当多教一些、多扶一把，对大多数学生有益。在学生有了进位、退位体验以后，适当少教一些、少扶一把，给了他们自己发现问题、解决问题的机会，学习能力会从中能得到提高。
2. 让学生操作学具，从形象到抽象地看待进位与退位，逐步形成计算思路，掌握算法要领。
本单元的四道例题，都安排学生摆小棒或拨数珠，借助操作学具来探索计算的原理与方法。
（1）例1的第一个问题列出的算式是24＋6，根据已有的两位数加一位数的口算思路，学生会很自然地先算4加6得10。这时该怎么办？让他们摆小棒激活“10根小棒应该捆成一捆”的经验，形象地看出再算20＋10＝30。这就在不进位的两位数加一位数的基础上，凸现了进位加法的特点，既加强了口算的基本思路，又解决了第一步计算的得数满10的矛盾。例1的第二个问题计算24＋9，没有安排学生操作学具，这出于两点原因。一是学生对两位数加一位数的计算步骤已经掌握得相当好，对个位上的数相加满10也有了初步的应对办法。他们按步骤先算4＋9＝13，再算20＋13＝33不会有困难，没有借助学具突破学习难点的需要。二是，教材要求学生在算式下面的□里填适当的数，引导他们一边填框、一边思考、一边计算，已经为学生进行计算提供了扶持。这种扶持，对计算有困难的学生是很好的帮助，对计算没有困难的学生起着组织计算过程、整理计算步骤的作用。大卡通的提示“先算什么、再算什么”，能引导学生没有学具的情况下，把两步计算连贯起来，形成完整的计算思路。
教学要及时组织学生回顾例1的两道计算题，看到它们仍然是两位数加一位数，仍然分两步计算。与以前不同的是第一步计算的得数满10，所以第二步应该算几十加10或几十加十几。通过这样的反思，帮助学生注意到计算中的新情况和新对策，完善自己的计算经验。
（2）例2教学退位减法，学生理解退位的原理和方法比学习进位加法要难一些。他们看到算式30－8，也打算像不退位减法那样计算，但不知道先算几减几。教材让学生摆学具计算，拆开1捆小棒变成10根，从中拿走8根，形象显示出从十位退1、个位作10的退位原理。许多教学事实告诉我们，学生能够进行这样的操作，但往往不会主动领悟蕴含在操作中的数学方法；学生能够通过操作得出30－8的结果，但不会根据操作过程整理出计算步骤。教学应该在这里充分发挥对学生的引领作用，引导他们把实物操作抽象成数的运算。懂得拆开1捆就是从十位拿出1个十，变成10个一，所以被减数30分成为20（2个十）和10；从10根里去掉8根，就是先算10－8＝2。
例2的第二个算式是34－8，学生理解被减数34分成20和14，先算14－8是教学难点。教材里呈现的小棒图，左边3捆和4根表示被减数34，从4根里不能直接拿走8根，表明计算34－8不能先算4减8，因为4比8小，不够减。右边的2捆14根表示拆开1捆，10根与原来的4根合起来是14根，即被减数34应该分成20（2个十）和14。这样，从14根里就可以去掉8根，即可以先算14－8＝6。和上面教学30－8一样，也要引导学生经历操作行为到抽象思考的提升。要抓住摆小棒过程里的两个要点，发挥学具在探索算法时的作用。一是把3捆和4根小棒变成2捆和14根，突出把34分成20和14,；二是从14根小棒里去掉8根，强调先算14减8。至于怎样算14－8，不是例题所要教学的。
（3）例3与例4教学两位数加、减两位数，在学具的使用上有两点变化。一是只在教学特殊情况（和是整十数、被减数是整十数）时使用学具，一般情况（和是非整十数、被减数是非整十数）则在“试一试”里直接进行竖式计算，不再借助学具的作用了。这是因为学生已经多次操作学具，初步理解了进位和退位的原理，积累了相应的经验，适当减少操作学具活动，加大对算法的推理力度，有利于学生发展抽象思维。二是探索特殊情况的算法，既摆小棒，也拨数珠，充分发挥各种学具的优势及作用。摆小棒延用了教学口算时的方法，能够形象地表现出为什么进位或退位，与学生已有的数学活动经验比较接近，他们的操作活动会比较顺利。拨数珠能够很清楚地显示出“个位满10向十位进1”与“个位不够减从十位退1作10”的方法，比摆小棒更容易过渡到竖式计算上面。
例3让学生摆小棒计算34＋16，他们会把4根和6根合起来捆成1捆。教学要引导学生接算3捆加1捆再加1捆，得到5捆。拨数珠计算34＋6，要根据“10个一是1个十”，去掉个位上的10粒数珠，同时在十位上添1粒数珠。引导学生注意十位上的计算是3（个十）加1（个十）再加1（个十），得到5（个十）。在摆小棒和拨数珠的基础上教学笔算，学生已经会按照相同数位上的数对齐写出竖式，教学要联系10根小棒捆成1捆，以及拨去个位上的10粒数珠在十位上添1粒数珠的操作，帮助学生理解“个位上4加6得10，向十位进1，个位写0”。还要把竖式十位上的计算梳理细致一些，让学生计算3＋1＋1＝5。
例4让学生摆小棒计算50－26，他们会拆开1捆小棒变成10根，并从中去掉6根。教学要引导学生注意整捆小棒的变化是5－2－1＝2或者5－1－2＝2，理解其中的减1是拆开1捆。拨数珠计算50－26，要根据“1个十是10个一”从十位上拨去1粒数珠，换成个位上的10粒数珠，这样就能很方便地减去26了。也要引导学生注意十位上数珠的变化过程，体会十位上的计算是5（个十）减1（个十）再减2（个十），得到2（个十）。教学笔算，要联系操作学具，使学生理解“个位上0减6不够减，从十位退1作10，然后再减”。
例题在竖式上标出了进位和退位的记号，能防止学生遗忘进位或退位。在教学笔算之初，要鼓励学生像这样做记号。有些学生不做记号也能记住进位与退位，这当然很好，但暂时不宜向更多学生推广。
例3和例4各编排一次“试一试”，这两次“试一试”以后教材分别安排学生说说
笔算加法要注意些什么，笔算减法要注意些什么，引导他们总结计算法则。第四单元《100以内的加法和减法（一）》里，教学不进位加法笔算和不退位减法笔算，曾经以“竖式计算要注意什么”初步得出了“相同数位上的数对齐着写”，这是笔算加、减法的一条法则。本单元继续总结计算法则，要注意两点。一点是突出本单元计算特点，使计算法则完整有序。可以先把笔算加法的“个位上相加满10向十位进1”和笔算减法的“个位上不够减从十位退1作10”总结出来，再和原来的“相同数位上的数对齐”结合起来。学生笔算不进位加法、不退位减法，对“从个位算起”的感受不深。他们笔算进位加法和退位减法时，才会体验“从个位算起”是合理的，这也是法则里的一条。总之，对大多数学生来说，形成完整的计算法则，可以是本单元的知识经验，加前面已有的计算经验，以及从个位算起的体验。当然，也可以往原有计算经验里注入进位与退位的方法，以及先算个位的体验。另一点是计算法则要用学生的口头语言表达，用词允许适当儿童化。教科书里的小卡通说“个位和个位对齐，十位和十位对齐”，教学未必一定要说成“相同数位对齐”。建议教学不要把进位方法和退位方法说得过于简单、过于概括，“个位相加满10的，要向十位进1”；“个位不够减，要从十位退1，在个位上加10后再减”，把什么情况要进位或退位，怎样进位或退位总结得很清楚、很具体，也很有操作性。
3. 经常比较加、减法计算的各种情况，促进学生及时调整自己的认知结构。 到本单元为止，已经教学了100以内加、减法计算的许多种情况。教材能否组织成合适的知识结构，学生能否形成适当的认知结构，会直接影响教学效果，直接关系到学生对算法的掌握以及计算的正确与熟练程度。为此，教材有计划地安排不同计算情况的比较。
（1）通过一位数加、减一位数和两位数加、减一位数的比较，进一步理清后者的计算思路。例1的“想想做做”第2题，例2的“想想做做”第2题，各编排了三组口算题，每组由一道20以内进位加法和两道两位数与一位数的进位加法组成，或者由一道20以内退位减法和两道两位数减一位数的退位减法组成。如4＋8、34＋8、54＋8，15－7、35－7、75－7等。这些题紧接着例题编排，起沟通新旧知识联系的作用，让学生体会20以内的进位加法和退位减法是基础，是两位数加、减一位数的第一步计算。正像4＋8、34＋8、54＋8这组题，后面两道两位数加一位数都是先算4＋8＝12；15－7、35－7、75－7这组题，后面两道两位数减一位数都是先算15－7＝8。
（2）通过不进位加法和进位加法的比较，不退位减法和退位减法的比较，进一步突出口算思路。练习十一第1题编排三组两位数加一位数的口算题，每组里都是一道不进位加法和两道进位加法。如 23＋5、23＋7、23＋9等。练习十二第1题编排43－3、43－5、43－9这样的题组。编排这些题是为了帮助学生区分不进位加法与进位加法，区分不退位减法与退位减法，培养审题时的敏感性；帮助学生整理不进位加与进位加，不退位减与退位减在计算时的相同点和不同点，从而更好地把握进位、退位的方法和技巧。
（3）通过两位数加（减）一位数的竖式和两位数加（减）两位数的竖式比较，进一步突出相同数位对齐。例3的“想想做做”第1、2两题里既有两位数加一位数的竖式，也有两位数加两位数的竖式。例4的“想想做做”第1、2两题里既有两位数减一
位数的竖式，也有两位数减两位数的竖式。本单元的教学任务十分明确，两位数加（减）一位数应该口算，两位数加（减）两位数应该笔算。既然这样，教材为什么还要列竖式计算两位数加（减）一位数呢？其目的是加强学生对竖式上的相同数位对齐的体验。一般而言，学生列两位数加（减）两位数的竖式，相同数位总是对齐的。因为两个加数都是两位数，被减数和减数都是两位数，位数相同，数位容易对齐。而两位数加（减）一位数，两个加数的位数不同，被减数和减数的位数不同，列竖式需要特别注意把相同数位上的数对齐。
（4）通过加法和减法的比较，进一步突出它们在计算时的相同方面与不同方面，培养学生细心计算的习惯。练习十二利用题组把两位数加一位数与两位数减一位数编排在一起，如 47＋8和47－8。它们的计算思路是相仿的，都分成两步计算；它们的第一步计算都是20以内的进位加法和退位减法。它们的运算不同，分别是加法和减法，因此具体的计算过程有很大的不同。这些认识不能靠教师告诉学生，只能由学生自己体会。像这样的加法和减法比较，给了学生体会的机会与条件。
除了上面所指出的比较，教材里还有笔算的进位加法与不进位加法的比较，笔算的退位减法与不退位减法的比较，笔算加法与笔算减法的比较。它们的编排意图也是很清楚的。
值得注意的是，教材把所有的比较几乎都编排在练习里，让学生算一算、比一比。“算”可以回忆计算知识，可以反思计算方法；“比”是通过“比同”来促进学生的认知同化，通过“比异”来促进学生的认知分化，学生的认知结构需要在经常的同化和分化中得到调整和完善，得到稳定和巩固。
4. 估计加、减计算的结果是几十多，深入体验进位加法、退位减法算式的特点，提高口算的正确率。
小学数学里，两位数加、减一位数应该口算，两位数加、减两位数在一、二年级可以笔算，到三年级也应该口算。前面曾经说过，人们进行计算，如果能够（或者要求）口算，则应该口算；如果不能口算，而又要得出精确结果，则采用笔算或计算器计算；如果不能口算，也不要求精确得数，则采用估算。为什么本单元在教学了两位数加、减一位数的口算以后，在练习里还安排这些计算的估计呢？教材编排这些估计，是让学生进一步体会并区分不进位加法与进位加法、不退位减法与退位减法，从而把握住进位加法、退位减法算式的特点，在计算时不疏忽进位和退位，提高口算的正确率。
学生习惯了口算以后，要求他们不算出得数，直接估计结果是几十多，会显得不适应，甚至不知道怎样思考。为此，教材作了比较细致的安排。
（1）在估计之前，安排了铺垫。
学生在《100以内的加法和减法（一）》里，曾经估计了两位数加整十数或一位数、两位数减整十数或一位数的得数是几十多。由于那时的计算不进位、不退位，估计时所展开的思维难度较小，只要想几十多加几十多得到几十多、几十多减几十多得到几十多。如76－34是七十多减三十多，结果是四十多。现在要进行的估计包括不进位加法与进位加法、不退位减法与退位减法，情况复杂了，思维难度也大了。所以，教材里提前作