y2、y3的等量关系． 2解答： 解：（1）将原方程整理，得x﹣（m+4）x+4m=0， 2222△=b﹣4ac=[﹣（m+4）]﹣4（4m）=m﹣8m+16=（m﹣4）＞0 ∴∴x=m或x=4；（2分） （2）由（1）知，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴的交点分别为（m，0）、（4，0）， ∵A在B的左侧，0＜m＜4， ∴A（m，0），B（4，0）． 22222222222则AD=OA+OD=m+2=m+4，BD=OB+OD=4+2=20； ∵AD?BD=10， 22∴AD?BD=100； 2∴20（m+4）=100；（3分） 解得m=±1；（4分） ∵0＜m＜4， ∴m=1 ∴b=m+1=5，c=﹣4m=﹣4； ∴抛物线的解析式为y=﹣x+5x﹣4；（5分） （3）答：存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式， 如：y3=﹣3（y1﹣y2）﹣4（答案不唯一）；（6分） 222证明：由题意可得y1=﹣a+5a﹣4，y2=﹣4a+10a﹣4，y3=﹣9a+15a﹣4； 2∵左边=y3=﹣9a+15a﹣4； 22右边=﹣3（y1﹣y2）﹣4=﹣3[（﹣a+5a﹣4）﹣（﹣4a+10a﹣4）]﹣4 2=﹣9a+15a﹣4； ∴左边=右边； ∴y3=﹣3（y1﹣y2）﹣4成立．（7分） 点评： 此题主要考查了一元二次方程的解法、二次函数与坐标轴交点的求法、二次函数解析式的确定等知识． 7．点P为抛物线y=x﹣2mx+m（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点． （1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标； （2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a； （3）如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m时，求m的值．
2
222；
考点： 二次函数综合题。
专题： 综合题。 分析： （1）首先根据m的值确定出原抛物线的解析式，进而可求得P、G的坐标，过P作PE⊥x轴于E，过Q作QF⊥x轴于F，根据旋转的性质知：△GQF≌△PGE，则QF=GE、PE=GF，可据此求得点Q的坐标． （2）已知了Q点坐标，即可得到QF、FG的长，仿照（1）的方法可求出点P的坐标，然后代入原抛物线的解析式中，可求得a、b、m的关系式． （3）延长QC到E，使得QC=CE，那么AQ=QE；由于OD、QE互相平分，即四边形OEDQ是平行四边形（或证△QCD≌△ECO），那么QD=OE=m，而AQ=QE，且QO平分∠AQC，易证得△AQO≌△EQO，则OA=OE=m，即A点坐标为（0，m），然后将点A的坐标代入（2）的关系式中，即可求得m的值． 2解答： 解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）， 则G（2，0）， ∵点P的横坐标为4，且P在抛物线上， 2∴将x=4代入抛物线解析式得：y=（4﹣2）=4， ∴P（4，4），（1分） 如图，连接QG、PG，过点Q作QF⊥x轴于F，过点P作PE⊥x轴于E， 依题意，可得△GQF≌△PGE； 则FQ=EG=2，FG=EP=4， ∴FO=2． ∴Q（﹣2，2）．（2分） （2）已知Q（a，b），则GE=QF=b，FG=m﹣a； 由（1）知：PE=FG=m﹣a，GE=QF=a，即P（m+b，m﹣a）， 代入原抛物线的解析式中，得：m﹣a=（m+b）﹣2m（m+b）+m 2222m﹣a=m+b+2mb﹣2m﹣2mb+m 2a=m﹣b， 2故用含m，b的代数式表示a：a=m﹣b．（4分） （3）如图，延长QC到点E，使CE=CQ，连接OE； ∵C为OD中点， ∴OC=CD， ∵∠ECO=∠QCD， ∴△ECO≌△QCD， ∴OE=DQ=m；（5分） ∵AQ=2QC， ∴AQ=QE， ∵QO平分∠AQC， ∴∠1=∠2， ∴△AQO≌△EQO，（6分） ∴AO=EO=m，
22
∴A（0，m），（7分） ∵A（0，m）在新的函数图象上， 2∴0=m﹣m ∴m1=1，m2=0（舍）， ∴m=1．（8分） 点评： 此题主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识，难度较大． 8．关于x的一元二次方程x﹣4x+c=0有实数根，且c为正整数． （1）求c的值；
（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x﹣4x+c与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长； （3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围． 考点： 二次函数综合题。 专题： 综合题。 分析： （1）若关于x的一元二次方程有实数根，那么根的判别式必大于等于0，可据此求出c的取值范围，由于c为正整数，即可求出符合条件的c值． （2）首先根据方程有两个整数根以及抛物线与x轴有两个不同的交点，确定c的值，从而得到抛物线的解析式和对称轴方程；由于四边形OBPC是直角梯形，且CP∥OB，P在抛物线的对称轴上，那么PC的长正好与抛物线对称轴的值相同，由此得解． （3）首先将（2）所得抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到此时顶点D的坐标； ①抛物线向左平移，可先设出平移后抛物线的解析式；当点P位于抛物线对称轴右侧的函数图象上时，可将点P坐标代入抛物线的解析式中，即可求得平移的距离；当点O位于抛物线对称轴右侧的函数图象上时，将点O的坐标代入抛物线的解析式中，同样能求出此时平移的距离；根据上面两种情况所得的m值，即可得到m的取值范围． ②抛物线向右平移，方法同①． 2解答： 解：（1）∵关于x的一元二次方程x﹣4x+c=0有实数根， ∴△=16﹣4c≥0，∴c≤4．（1分） 又∵c为正整数，∴c=1，2，3，4．（2分） （2）∵方程两根均为整数，∴c=3，4；（3分） 又∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴c=3； 2∴抛物线的解析式为y=x﹣4x+3；（4分） ∴抛物线的对称轴为x=2． ∵四边形OBPC为直角梯形，且∠COB=90°， ∴PC∥BO，∵P点在对称轴上，∴PC=2．（5分） 2
2
（3）由（2）知：y=x﹣4x+3=（x﹣2）﹣1； 2①当抛物线向左平移时，设平移后的抛物线解析式为：y=（x﹣2+k）﹣1； 易知P（2，3），当抛物线对称轴右侧的函数图象经过点P时，则有： 2（2﹣2+k）﹣1=3， 解得k=2（负值舍去）； 即y=x﹣1，此时m=0； 当抛物线对称轴右侧的函数图象经过点O时，则有： 2（0﹣2+k）﹣1=0， 解得k=1（舍去），k=3； 2即y=（x﹣1）﹣1，此时m=﹣1； 故当抛物线向作平移时，﹣2＜m≤0（或﹣1≤m≤0）．
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②当抛物线向右平移时，同①可求得2＜m≤4； 综上所述，﹣2＜m≤0或2＜m≤4．（7分）（写对一个给1分） 点评： 此题考查了根的判别式、直角梯形的性质、二次函数解析式的确定以及函数图象的平移等知识．在（3）题中，抛物线向左或向右平移都有符合条件的m值，因此需要分类讨论，以免漏解． 9．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD=FB?FC．
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考点： 相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质。 专题： 证明题。 分析： 连AF，则DF=AF，再由△ACF∽△BAF，对应边成比例，即可求证． 解答： 证明：连接AF， ∵AD是角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， 又EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF， ∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD， ∴∠CAF=∠B， ∵∠AFC=∠AFC， ∴△ACF∽△BAF，即∴AF=CF?BF， 2即FD=CF?BF． 2=， 点评： 本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及垂直平分线的性质问题，应熟练掌握． 10．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线． 求证：（1）∠EAD=∠EDA． （2）DF∥AC． （3）∠EAC=∠B．
考点： 线段垂直平分线的性质。 专题： 证明题。 分析： （1）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到AE=DE，再根据等角对等边可得到∠EAD=∠EDA； （2）根据线段垂直平分线的性质证明AF=DF，进而得到∠BAD=∠ADF，再利用角平分线的性质可得到∠BAD=∠CAD，利用等量代换可得∠ADF=∠CAD，再根据平行线的判定即可得到DF∥AC； （3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论． 解答： 证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线， ∴AE=DE， ∴∠EAD=∠EDA； （2）∵EF是AD的垂直平分线， ∴AF=DF， ∴∠BAD=∠ADF， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠ADF=∠CAD， ∴DF∥AC； （3）由（1）∠EAD=∠EDA， 即∠ADE=∠CAD+∠EAC， ∵∠ADE=∠BAD+∠B， ∠BAD=∠CAD， ∴∠EAC=∠B． 点评： 此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，题目综合性较强，但是难度不大，需要同学们掌握好基础知识． 11．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点；
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（3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x+（m﹣2）x﹣1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m﹣1）x+（m﹣2）x﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式． 考点： 抛物线与x轴的交点。 专题： 计算题；证明题。 分析： （1）根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）的解的情况； 2（2）用十字相乘法来转换y=（m﹣1）x+（m﹣2）x﹣1，即y=[（m﹣1）x+1]（x﹣1），则易解； 2
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