DE=EG=2CF； （3）分类讨论：当AD=AB=时，取AB的中点M，连接MF和CM，tan∠BAC=，且BC=6，计算出AC=12，，FM=；当AD==2．当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时时，取AB的中点M，连接MF和CM，类似于情况1，．M为AB中点，则CM=CF最大，此时CF=CM+FM=可知CF的最大值为．即可得到线段CF长度的最大值． 解答： 解：（1）∵F为BD中点，DE⊥AB， ∴CF=BD，EF=BD， ∴CF=EF， ∴k=1； 故答案为1． （2）如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q． 由题意，tan∠BAC=， ∴． ∵D、E、B三点共线， ∴AE⊥DB． ∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°， ∴∠QBC=∠EAQ． ∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°， ∴∠ECA=∠BCG． ∴△BCG∽△ACE． ∴ ∴GB=DE． ∵F是BD中点， ∴F是EG中点． 在Rt△ECG中，∴BE﹣DE=EG=2CF； （3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM， ，
∵∠ACB=90°，tan∠BAC=，且BC=6， ∴AC=12，AB=． ∵M为AB中点， ∴CM=， ∵AD=， ∴AD=4．∵M为AB中点，F为BD中点， ∴FM==2． 如图：∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大， 此时CF=CM+FM=． 情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM， 类似于情况1，可知CF的最大值为． 综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的 三等分点时，线段CF的长度取得最大值为． 点评： 本题考查了三角形相似的判定与性质．也考查了旋转的性质和三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
20．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．
（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；
（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）： ①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是 S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或
；
②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是 S1×S3=S2×S4或 ．
考点： 作图—应用与设计作图。 专题： 新定义；开放型。 分析： （1）在BD上任选一点E（不与B、D重合），连接AE、CE即可； （2）根据等底等高，可得结论：①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等． ②S1×S3=S2×S4或解答： 解：（1）比如： 等． （2）①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或②∵分别作△ABD与△BCD的高，h1，h2， 则=，=， 等． ∴S1×S3=S2×S4或等．
点评： 此题主要考查学生的阅读理解能力和对等底等高知识的灵活应用． 21．已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax﹣bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1． （1）若方程①的根为正整数，求整数k的值； （2）求代数式
的值；
2
2
（3）求证：关于x的一元二次方程ax﹣bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根． 考点： 抛物线与x轴的交点；一元一次方程的解；根的判别式。 专题： 计算题；证明题。 分析： （1）根据一元一次方程及根的条件，求k的值． （2）把交点坐标代入二次函数的解析式求出值． （3）根据根的判别式和一元一次方程的根为正实数得出x有两不相等的实数根． 解答： 解：（1）由kx=x+2， 得（k﹣1）x=2． 依题意k﹣1≠0． ∴． ∵方程的根为正整数，k为整数， ∴k﹣1=1或k﹣1=2． ∴k1=2，k2=3． （2）依题意，二次函数y=ax﹣bx+kc的图象经过点（1，0）， ∴0=a﹣b+kc， kc=b﹣a， ∴ （3）证明：方程②的判别式为△=（﹣b）﹣4ac=b﹣4ac． 由a≠0，c≠0，得ac≠0． 2（i）若ac＜0，则﹣4ac＞0．故△=b﹣4ac＞0． 此时方程②有两个不相等的实数根． （ii）证法一：若ac＞0，由（2）知a﹣b+kc=0， 故b=a+kc． △=b﹣4ac=（a+kc）﹣4ac 22=a+2kac+（kc）﹣4ac 22=a﹣2kac+（kc）+4kac﹣4ac 2=（a﹣kc）+4ac（k﹣1） ∵方程kx=x+2的根为正实数， ∴方程（k﹣1）x=2的根为正实数．
22222=，
由x＞0，2＞0，得k﹣1＞0． ∴4ac（k﹣1）＞0． 2∵（a﹣kc）≥0， 2∴△=（a﹣kc）+4ac（k﹣1）＞0． 此时方程②有两个不相等的实数根． 证法二：若ac＞0， ∵抛物线y=ax﹣bx+kc与x轴有交点， 22∴△1=（﹣b）﹣4akc=b﹣4akc≥0． 22（b﹣4ac）﹣（b﹣4akc）=4ac（k﹣1）． 由证法一知k﹣1＞0， ∴b﹣4ac＞b﹣4akc≥0． 2∴△=b﹣4ac＞0．此时方程②有两个不相等的实数根． 综上，方程②有两个不相等的实数根． 点评： 考查根的判别式与根的关系和二次函数图象性质． 22．已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D． （1）求此抛物线的解析式及点D的坐标； （2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形； （3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P（x，0），△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
222
考点： 二次函数综合题。 专题： 动点型。 分析： （1）根据抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），于是可设出一般式，用待定系数法求出解析式，再根据解析式求出D点坐标； （2）设出E点坐标，作出辅助直角三角形，运用等腰三角形的性质和勾股定理建立等式，求出E点坐标； （3）由于P点为动点，故根据x的不同取值会得到不同的重叠图形．由于BC的中点横坐标为物线与x轴的交点横坐标4，所以分﹣1＜x≤2，2＜x≤4等情况讨论． 2解答： 解：（1）依题意，设所求抛物线的解析式为y=ax+bx+4， =2，抛则，（1分） 解得， ∴所求抛物线的解析式为
．（2分）