高中数学 竞 赛 讲 义
2007-2009全国高中数学联赛试题解答
河南大学附中
目录
2009年全国高中数学联合竞赛一试试题
参考答案及评分标准……………1
2009年全国高中数学联合竞赛加试试题
参考答案及评分标准……………6
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题
参考答案及评分标准……………10
2008年全国高中数学联合竞赛加试试题
参考答案及评分标准……………21
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题
参考答案及评分标准……………26
2007年全国高中数学联合竞赛加试试题
参考答案及评分标准……………32
高中数学竞赛讲义
2009年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）
1．
若函数
f?x??x1?x2且
?99??f(n)?x??f?ff?fx??，则f???1?? ． ?????????????n【答案】
1 10x1?x21【解析】 f???x??f?x??，
f?2??x??f??f?x????x1?2x2，
……，
f?99??x??x1?99x2．故
f?99??1??110．
2． 已知直线L:x?y?9?0和圆M:2x2?2y2?8x?8y?1?0，点A在直线L上，B，C两点，在?ABC中，?BAC?45?，AB过圆心M，则点A横坐标范围为 ．
【答案】 ?3，6?
【解析】 设
为圆
M上
A?a，9?a?，则圆心
M到直线
AC的距离
d?AMsin45?，由直线AC与圆
M相交，得
d≤342．解得3≤a≤6．
?y≥0?
3． 在坐标平面上有两个区域M和N，M为?y≤x，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t?1所确
?y≤2?x?
定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数f?t?? ． y【答案】
?t2?t?1 2ACODFEBx【解析】 由题意知
f?t??S阴影部分面积?S?AOB?S?OCD?S?BEF
1112?1?t2??1?t???t2?t?
22211114． 使不等式?????a?2007对一切正整数
n?1n?22n?13n都成立的最小正整数a的值为 ．
【答案】
2009
【解析】 设
f?n??111????n?1n?22n?1．显然
f?n?单调递减，则由
f?n?的最大值
1f?1??a?200，可得7a?2009．
3x2y25． 椭圆2?2?1?a?b?0?上任意两点P，Q，若OP?OQ，则乘积OP?OQab2a2b2【答案】
a2?b2的最小值为 ．
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【解析】 设由
?π?π????P?OPcos?，OPsin??，Q?OQcos????，OQsin?????．
2?2?????P，Q在椭圆上，有
1cos2?sin2???222abOP1OP2 ①
sin2?cos2??2?2ab2OQ1 ②
①+②得?1OQ2?11?a2b2．
2a2b22a2b2于是当OP?OQ?时，OPOQ达到最小值．
a2?b2a2?b26． 若方程lgkx?2lg?x?1?仅有一个实根，那么k的取值范围是 ． 【答案】 k?0或k?4
【解析】 当且仅当
kx?0 x?1?0
③
① ②
x2??2?k?x?1?0
对③由求根公式得
1x1，x2??k?2?k2?4k? ④
?2???k2?4k≥0?k≤0或k≥4．
?x1?x2?k?2?0(ⅰ)当k?0时，由③得?，所以x1，x2同为负根．
xx?1?0?12?x1?1?0又由④知?，所以原方程有一个解x1．
x?1?0?2k?1?1． 2?x1?x2?k?2?0(ⅲ)当k?4时，由③得?，
xx?1?0?12所以x1，x2同为正根，且x1?x2，不合题意，舍去．
(ⅱ)当k?4时，原方程有一个解x?综上可得
k?0或k?4为所求．
一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100987．
个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）
【答案】 101?2
【解析】 易知：
(ⅰ)该数表共有100行；
(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为(ⅲ)100为所求． 设第
d1?1，d2?2，d3?22，…，d99?298
an?n≥2?行的第一个数为an，则
n?3n?2an?an?1??an?1?2n?2??2an?1?2n?2?2??2an?2?2???2
3n?2n?1n?2n?2n?4n?2n?2?22??2an?3?2???2?2?2?2an?3?3?2=……?2a1??n?1??2??n?1?2
故100a?101?298． ∶00某车站每天8~9∶00，9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相
8．
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互独立的，其规律为
到站时刻 8∶10 9∶10 8∶30 9∶30 8∶50 9∶50 概率 16 12 1 3∶20到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）一旅客8．
【答案】 27
【解析】 旅客候车的分布列为 候车时间（分） 概率 候车时间的数学期望为 10 30 50 70 90 121 311? 6611? 2611? 361111110??30??50??70??90??27
23361218二、解答题
x2y21． （本小题满分14分）设直线l:y?kx?m（其中k，m为整数）与椭圆??1交于不同两点A，B，与
1612????????x2y2双曲线??1交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量AC?BD?0，若存在，指出这样的直线有多少条？若
412不存在，请说明理由．
?y?kx?m?2【解析】 由?x2消去y化简整理得3?4kx2?8kmx?4m2?48?0 y2?1???16128kmy1?，B?x2，y2?，则x1?x2??设A?x1，
3?4k2???1??8km??4?3?4k2??4m2?48??0 ① ………4分
2?y?kx?m?2由?x2消去y化简整理得3?kx2?2kmx?m2?12?0 y2?1???4122kmy4?，D?x4，y4?，则x3?x4?设C?x3，
23?k???2???2km??4?3?k2??m2?12??0 ② …………8分
????????因为AC?BD?0，所以?x4?x2???x3?x1??0，此时?y4?y2???y3?y1??0．
28km2km． ?223?4k3?k41所以2km?0或?．由上式解得k?0或m?0．当k?0时，由①和②得?23?m?23．因?23?4k3?k2所以m的值为?3，?2，?1，0，当m?0，由①和②得?3?k?3．因k是整数，所以k??1，m是整数，1，2，3．
0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分
2． （本小题15分）已知p，q?q?0?是实数，方程x2?px?q?0有两个实根?，?，数列?an?满足a1?p，
由1x?x2?x3?x4得?4，?? a2?p2?q，an?pan?1?qan?2?n?3，(Ⅰ)求数列
； ?an?的通项公式（用?，?表示）
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