河大附中校本课程
1，求?an?的前n项和． 4【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知????q?0，又????p，所以
(Ⅱ)若
p?1，q?an?pxn?1?qxn?2??????an?1???an?2，?n?3，4，5，??
整理得令n数列
an??an?1???an?1??an?2?
b?an?1??an，则bn?1??bn?n?1，2，??．所以?bn?是公比为?2的等比数列．
?bn?的首项为：b1?a2??a1?p2?q??p??????????????????2．
2n?1所以bn????2，??． ??n?1，即an?1??an??n?1?n?1，n?1所以an?1??an????． ?n?1，2，2n?1①当??p?4q?0时，????0，a1?p?????2?，an?1??an????变为?n?1，2，2，??．整理得，an?1??an??n?1?n?1，等差数列，其首项为
于是数列②当
an?1??n?1?an?，?n?1，．所以，数列?n?成公差为1的2，??1??n???ana1?an?的通项公式为an??n?1??n；……………………………5分
??2???2．所以
an?n?2?1?n?1??n?1．
??p2?4q?0时，???，
???n?1?????an??n?1??n?1?n?1，2，??． an?1??an??n?1??an????????????n?2?n?1????an?2，??． 整理得an?1??，?n?1，??????????n?1?所以，数列?an??成公比为?的等比数列，其首项为
?????2??2?2?n?1?2a1?????????n?1． ．所以an?????????????????n?1??n?1于是数列?an?的通项公式为an?．………………………………10分
???112(Ⅱ)若p?1，q?，则??p?4q?0，此时????．由第(Ⅰ)步的结果得，数列?an?42n?1?n?1an??n?1????n，所以，?an?的前n项和为
2?2?234nn?1sn??2?3???n?1?n
222221234nn?1 sn?2?3?4????22222n2n?113n?3以上两式相减，整理得sn??n?1
222n?3所以sn?3?．………………………………………………………15分
2n方法二：
的通项公式为
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高中数学竞赛讲义
(Ⅰ)由韦达定理知特征方程①当
????q?0，又????p，所以a1????，a2??2??2???．
．
，
?2?p??q?0的两个根为?，?????0时，通项an??A1?A2n??n?n?1，2，??由a1?2?a2?3?2得
???A1?A2???2?n， 解得A?1?A2?1．故 an??1?n??．…………5分 22???A1?2A2???3?nn②当???时，通项an?A2，??．由a1????，a2??2??2???得 1??A2??n?1，
?????A1??A2??????A?， 解得A，．故 ?122222??????A??A??????????12??n?1?n?1?n?1??n?1an???．………………………………………10分
?????????（本小题满分15分）求函数
(Ⅱ)同方法一．
3． y?x?27?13?x?x的最大和最小值．
【解析】 函数的定义域为
13?.因为 ?0，y?x?x?27?13?x?x?27?13?2x?13?x?≥27?13?33?13
当
x?0时等号成立．故y的最小值为33?13．……………………5分
又由柯西不等式得
y2?所以
?x?x?27?13?x?2
1??1≤??1???2x??x?27??3?13?x???121
3??2y≤11． …………………………………………………………10分
由柯西不等式等号成立的条件，得
4x?9?13?x??x?27，解得x?9．故当x?9时等号成立．因此y的最大值为
2009年全国高中数学联合竞赛加试
试题参考答案及评分标准（A卷）
11．……………………………………15分
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．
⌒⌒
一、如图，，N分别为锐角三角形?ABC（）的外接圆上弧BC 、AC的中点．过点C作PC∥MN交圆
M于P点，I为?ABC⑴求证：MP?MT?NP?NT；
⌒
⑵在弧AB（不含点C）上任取一点Q（Q≠?A??B的内心，连接PI并延长交圆?于T．
??A，T，B），记?AQC，△QCB的内心分别为I1，I2，
PCMITAQ
NB求证：Q，1，
II2，T四点共圆．
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【解析】 ⑴连NI，MI．由于PC∥MNPM?NC．
，
P，C，M，NC共圆，故
PCMN是等腰梯形．因此NP?MC，
PNMITAB连AM，CI，则AM与CI交于I，因为
?MIC??MAC??ACI??MCB??BCI??MCI，所以MC?MI于是NP?MI，PM?NI．
故四边形MPNI为平行四边形．因此S△PMT?S△PNT（同底，等高）．
又P，N，T，M四点共圆，故?TNP??PMT?180?，由三角形面积公式
．同理
NC?NI．
PM?MT?PN?NT．
⑵因为?NCI1??NCA??ACI1??NQC??QCI1??CI1N，
于是
111S△PMT?PM?MTsin?PMT?S△PNT?PN?NTsin?PNT?PN?NTsin?PMT222
PNCMII2I1TQBA所以
NC?NI1，同理MC?MI2．由MP?MT?NP?NT得
MP?NC，NP?MC，故
NTMT?MPNP
．
由⑴所证又因故
NTMT?NI1MI2，有
．
?I1NT??QNT??QMT??I2MTII2，T四点共圆．
?I1NT∽?I2MT．
?NTI1??MTI2，从而?I1QI2??NQM??NTM??I1TI2．
因此Q，1，
1?nk??1??lnn≤二、求证不等式：，n?1，2，… ??k2?1?2?k?1?【解析】 证明：首先证明一个不等式：
x⑴?ln(1?x)?x，x?0． 1?x- 6 -
高中数学竞赛讲义
x．
1?x11x1???0． 则对x?0，h?(x)?1??0，g?(x)?1?x(1?x)2(1?x)21?x1于是h(x)?h(0)?0，g(x)?g(0)?0．在⑴中取x?得
n1?1?1?ln?1???． ⑵
n?1?n?nnk1?lnn令xn??，则x1?，
22k?1k?11n1?n1??0 xn?xn?1?2?ln?1????2??2(n?1)nn?1n?1??n?1n1 因此xn?xn?1???x1?．
2事实上，令
h(x)?x?ln(1?x)，g(x)?ln(1?x)?又因为
?1?lnn?(lnn?ln(n?1))?(ln(n?1)?ln(n?2))???(ln2?ln1)?ln1??ln?1??．从而
?k?k?1n?1n?1k1?n?1?n?1?k?k?1??xn??2??ln?1?????2???2?? ?ln?1????2?k?k?1?k?1?k??n?1k?1?k?1k?k?1k?1k?1nn?1
n?1111???2≥????1???1．
kknk?1(k?1)k?1(k?1)n?1三、设k，l是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥k，使得
【解析】 证法一：对任意正整数设
lCkm与互素．
l??1． t，令m?k?t?l?(k!)．我们证明?Ckm，kkk／C． p是l的任一素因子，只要证明：p∣mkm／k!，则由k!C若p∣
??(m?k?i)??[(i?tl(k!)]??i ?k!modp??1i?1i?1i?1k??．
及
p?|k!，且p
α+1
／k!，知∣
??1kk／k!C．从而p／∣∣Cm． p?|k!Ckm且pm 证法二：对任意正整数设
l??1． t，令m?k?t?l?(k!)2，我们证明?Ckm，k2kk／C． 若p／∣k!，则由 p是l的任一素因子，只要证明：p∣mkmkk!C??(m?k?i)??[(i?tl(k!)] ??i ?k!?modp?．
i?1i?1i?1k／C． p不整除上式，故p∣m???1 若p|k!，设?≥1使p|k!，但p?k!．p??1|(k!)2．故由
即
k!C??(m?k?i)kmi?1k?1
??[(i?tl(k!)]2i?1k
??i?k!modp??1i?1k??,及
p?|k!，且
pα+1／∣k!，知
k??1kk／k!C．从而p／∣∣Cm． p?|k!Cm且pm四、在非负数构成的3?9数表
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?x11x12x13x14x15x16x17x18x19??? P?x21x22x23x24x25x26x27x28x29
???xxxxxxxxx??313233343536373839?中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，x17?x28?x39?0，x27，x37，x18，x38，x19，x29均大于．如果P的前三列构成的数表
?x11x12x13??? S?x21x22x23
???xxx??313233??x1k???满足下面的性质(O)：对于数表P中的任意一列x2k（k?1，2，…，9）均存在某个i??1，2，3?使得
???x??3k?⑶xik≤ui?min?xi1，xi2，xi3?．
求证： （ⅰ）最小值
ui?min?xi1，xi2，xi3?，i?1，2，3一定自数表S的不同列．
?x1k*???（ⅱ）存在数表P中唯一的一列?x，k*≠1，2，3使得3?3数表
2k*???x???3k*??x11x12x1k*???S???x21x22x2k*?
??x31x32x??3k*??仍然具有性质(O)．
【解析】 （ⅰ）假设最小值妨设
ui?min?xi1，xi2，xi3?，i?1，2，3不是取自数表S的不同列．则存在一列不含任何
ui．不
ui≠xi2，i?1，2，3．由于数表P中同一行中的任何两个元素都不等，于是ui?xi2，i?1，2，3．另一方面，由于数表S具有性质(O)，在⑶中取（ⅱ）由抽届原理知，
min?x11，x12?，min?x21，x22?，min?x31，x32?中至少有两个值取在同一列．不妨设
的第一列一定含有某个
k?2，则存在某个i0??1，2，3?使得xi02≤ui0．矛盾．
由前面的结论知数表Smin?x21，x22??x22，min?x31，x32??x32．样，第二列中也必含某个
ui，所以只能是x11?u1．同
ui，i?1，2．不妨设x22?u2．于是u3?x33，即ui是数表S中的对角线上数字．
?x11x12x13??? S?x21x22x23
???xxx??313233?1，2，?，9?，令集合 记M??I??k?M|xik?min?xi1，xi2?，i?1，3?．
显然故
I??k?M|x1k?x11，x3k?x32?且1，23?I．因为18，
xx38?1≥x11，x32，所以8?I．
I≠?．于是存在k*?I使得x2k*?max?x2k|k?I?．显然，k*≠1，2，3．
下面证明3?3数表
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