设f?x?在[a，b]上连续，在?a，b?内可导且导数恒大于0，t??a，b?A?t?为y?f?x?和x?a，y?f?t?所围面积，B?t?为y?f?x?和x?b，y?f?t?所围面积，如图所示，证明：必存在唯一??（a，b），使
6
A????2009。B???
y A(t) o a t b x B(t)
2008–2009年第1学期
《高等数学A》课程期末考试试卷解答 2009.1
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题分3小题, 每小题3分, 共9分) 1、D 2、C 3、C 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) 1、e 2、y?ex?0 3、3 4、
121?? 25、 (1,1)
三 计算题(本大题分10小题，每小题6分，共60分)
1、解：设 limun=A，
n??? limun?lim(n?2n?n)?2A
n??n??22分
A?lim2nn?2n?n2n???2A?1?2A
5分
limun=-1 6分
n???2、 解： y??(1?x)e,y???(x?2)e,y????(3?x)e
?x?x?x 3分
?y(n)?(?1)n(x?n)e?x 6分
?33、原式??20sinuducosu?sinu7
(u??2?x)
? ?43分
?20cosxdx
sinx?cosx
1sinx?cosx? 所以原式=?2dx? 6
?20sinx?cosx4分
4、解：y???ey?xeyy? 2分
y???eyxey?1 5分 x?0,y?1,y???e 6分
5
、
解
：
f(x)?lnsx在[?6,5?6]上i,在(?5?6,6n连)内 续可 f(?5?16)?f(6)?ln2
3分
即 f(x)在[?5?6,6]上满足罗尔定理的条件 f?(x)?cotx4分
令 f?(x)?0,得x?2k???2即在(?5?? 6分
6,6)内存在以上??2使f?(?)?0
6
、
解
：
dx?atcost,dydtdt?atsintdy?dy?2dx?tant ，1???dx???sec2t，2分 8
，
导 3分
d2ysec2tsec3t??atdx2atcost，
k?d2ydx2 ?sec2tat?1，
?3?dy?22sec3tat??1??????dx????5分
kt???1a?6分
7、解：令x?2sect dx?2sect?tantdt 原式??2sect?tant4sec2t?2tantdt?14?costdt?14sint?C分
?x2?44x?C. ?x?7?5t8、l参数方程为??y?4?t
??z?5?4t代入?方程，解得t??1，故l，?交点M0为(2,31,)
3分
过M0与l垂直的平面方程为 5x?y?4z?17?0
5分
所求直线为 ??3x?y?2z?5?0?5x?y?4z?17?0
9
。 2分 5
6分
6分
99、解：设d??{x,y,z}，
??2x?3y?z?0 ??x?2y?3z?0， 4分
??2x?y?2z?3?14解答：x=-42，y=z=42，即d??{?42,42,42}。6分
10、左边????0f(x)sinxdx??0sinxdf?(x) 2分
=???0f(x)sinxdx?sinx?f?(x)|?0??0f?(x)cosxdx 3分
=??0f(x)sinxdx?f(x)cosx|??0??0f(x)sinxdx 5分
=f(?)?f(0)?3,?f(0)?2.
6分
四、应用与证明题（本大题共16分）
1、( 本 小 题8分 )
解:S??2?a2?0ydx??0a2(1?cost)2dt
?a2?2?0(1?2cost?cos2t)dt
2?
?a2(32t?2sint?14sin2t)?3a2?
0 V???2?a230ydx??a3?2?0(1?cost)dt
??a3?2?(1?3cost?3cos2t?cos30t)dt??a3?2??5??2?3cost?32cos2t?(1?sin2t)cost?
0??dt??a3?52?2??5?2a3.
10
2分4分5分8分
2、( 本 小 题8分 )
证明：存在性
设g(t)?A(t)?2009B(t)
2分
f(t)在[a,b]上连续，且单调增，
??(f(t)?f(x))dx?2009?(f(x)?f(t))dx
attbg(a)g(b)??2009?(f(b)?f(x))dx??(f(x)?f(a))dx?0aabb
由零点定理，至少有一点??(a,b),g(?)?0 5
分
唯一性：g?(t)?f?(t)(t?a)?2009f?(t)(b?t)?0 7分
所以g(t)严格单调增，故?唯一，
分
即必存在唯一??(a,b),使A(?)?2009 8B(?) 11