数列的题型与考点 二、经典例题剖析
考点一：等差、等比数列的概念与性质 例题1. 已知等比数列
{an}中,a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且
a1?64,公比q?1
（Ⅰ）求 （Ⅱ）设
an；
bn?log2an，求数列{|bn|}的前n项和Tn.
a2?a4?3(a3?a4),即2a4?3a2?a2?0
解析：（I）依题意
?2a1q3?3a1q3?a1q?0
?2q2?3q?1?0?q?1或q??q?1
?q?1故an?64?()n?12
12
12
1bn?log2[64?()n?1]?log227?n?7?n2（II）
?7?n?|bn|???n?7n?7n?7
(6?7?n)n(13?n)?当n?7时,|b1|?6,Tn??2n (1?n?7)(n?7)(n?6)(n?7)当n?7时,|b8|?1,Tn?T7??21?22
?n(13?n)(n?7)??2?Tn???(n?6)(n?7)?21(n?7)?2?
点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。 例题2.设数列数列.
（1）求数列 （2）试比较
?an?的前n项和为Sn，若?Sn?是首项为1，各项均为正数且公比为q的等比?an?的通项公式an；
an?an?2与2an?1(n?N?)的大小，并证明你的结论.
1
解析：（Ⅰ）∵
?Sn?是各项均为正数的等比数列.
n?2n?1S?q(q?0). 当n=1时，a1=1， 当n?2时,an?Sn?Sn?1?(q?1)qn∴.
(n?1)?1an??(q?1)qn?2(n?2)?∴。
（Ⅱ）当n=1时，
31a1?a3?2a2?S1?S1(q?1)q?2S1(q?1)?[(q?)2?]?0.24 ∴a1?a3?2a2
n?2nn?13n?2∴当n?2时,an?an?2?2an?1?S1(q?1)q?S1(q?1)q?2S1(q?1)q?(q?1)q
n?2∵q?0,q?0.
3(q?1)?0,?an?an?2?2an?1. ①当q=1时，
30?q?1时,(q?1)?0,?an?an?2?2an?1. ②当
时,(q?1)3?0,?an?an?2?2an?1. ③当q?1综上可知： 当n=1时，a1?a3?2a2 当n?2时,若q?1,则an?an?2?2an?1; 若0?q?1,则an?an?2?2an?1; 若q?1,则an?an?2?2an?1.
点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。 考点二：求数列的通项与求和 例题3.已知数列
{an}中各项为：
11??????122??????2??????????n个 n个 ?? 12、1122、111222、??、
（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n项之和Sn .
解析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。
12an?(10n?1)?10n??(10n?1)99答案：（1）
10n?110n?11nn?(10?1)?(10?2)?()?(?1)933
2
10n?133??????3?????n记：A =3 , 则A=为整数
个
? a(2)
n= A (A+1) ， 得证
?an?12n1n210?10?999
112Sn?(102?104????????102n)?(10?102???????10n)?n999 1?(102n?2?11?10n?1?198n?210)891
点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 例题4.已知
Sn是数列{an}的前n项和，并且a1=1，对任意正整数n，Sn?1?4an?2；设
bn?an?1?2an(n?1,2,3,?）.
（I）证明数列
{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；
Cn? （II）设解析：（I）
bn1,Tn为数列{}3log2Cn?1?log2Cn?2的前n项和，求Tn.
?Sn?1?4an?2,?Sn?4an?1?2(n?2),
an?1?4an?4an?1(n?2),
两式相减：
?an?1?4(an?an?1)(n?2),?bn?an?1?2an,
?bn?1?an?2?2an?1?4(an?1?an)?2an?1,bn?1?2(an?1?2an)?2bn(n?N*),
?
bn?1?2,bn
?{bn}是以2为公比的等比数列，
?b1?a2?2a1,而a1?a2?4a1?2,?a2?3a1?2?5,b1?5?2?3,
?bn?3?2n?1(n?N*)
（II）
Cn?bn?2n?1,3
?
111??,log2Cn?1?log2Cn?2log22n?log22n?1n(n?1)
3
111??,n(n?1)nn?1而
11111111?Tn?(1?)?(?)?(?)???(?)?1?.22334nn?1n?1
点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列二问求和用到裂项的办法求和。
考点三：数列与不等式的联系 例题5.已知?为锐角，且tan???an?的通项an，第
2?1，
f(x)?x2tan2??x?sin(2??函数
⑴ 求函数f(x)的表达式； ⑵ 求证：
?4，数列{an}的首项
)a1?1,an?1?f(an)2.
an?1?an；
1111??????2(n?2,n?N*)1?a11?a21?an⑶ 求证：
解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。
tan2??答案：解：⑴
2tan?2(2?1)??11?tan2?1?(2?1)2 又∵?为锐角
sin(2??2?? ∴
?4 ∴
?4)?12f(x)?x?x
⑵
an?1?a?an ∵
2na1?12 ∴a2,a3,?an都大于0
2a?0 ∴an?1?an n ∴
1 ⑶
an?1?1111???2an?anan(1?an)an1?an
111??1?ananan?1 ∴
111111111????????????1?a11?a21?ana1a2a2a3anan?1
∴
4
?
111??2?a1an?1an?1
11333a2?()2??a3?()2??1n?2an?1?an 224, 44∵ , 又∵
a?a3?1 ∴
∴n?11? ∴
1?2?1an?1?2
111?????21?a11?a21?an
点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式所给的式子更具有一般性。
31?1?xn?1?xn????,n?N*,且x1?1.设an?xn?,?x?42且?2?例题6.已知数列n满足
nT2n?a1?2a2?3a3???(2n?1)a2n?1?2na2n.
（Ⅰ）求
xn的表达式； （Ⅱ）求T2n；
Qn?1?3n?1*(n?N)29T与Qn的大小，并说明理由. (2n?1)，试比较2n （Ⅲ）若
1?xn?1?xn?(?)n,2 解析：（I）
?xn?x1?(x2?x1)?(x3?x2)???(xn?xn?1)111?1?(?)?(?)2???(?)n?122211?(?)2n?1?211??11?(?)?????33?2? 2当n?1时上式也成立，
21?1??xn?????33?2?n?1(n?N*).
n?1311?1?an?xn?????424?2? （Ⅱ）
?1??????2?n?1.
?T2n?a1?2a2?3a3???(2n?1)a2n?1?2na2n
5