?1??1??1??1??????2????3??????(2n?1)????2??2??2??2?3452342n?1??2n????2?2n?12n?1 ①
2n?21?1??1??1??1???T2n????2????3??????(2n?1)???2?2??2??2??2?②
①—②，得
?1??2n????2?
3?1??1??1?T2n??????????????2?2??2??2?232n?1?1??2n????2?2n?2
3?T2n?21??1??1????4???2?1?122n??2n?22n2n?1111n1????????2n??????????.??266?2?2?2???
2n11?1?T2n?????99?2?2nn?1?????3?2?9T2n1?3n?1???1?2n?.9?2?
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得
3n?1Q?1?3n?1?1?2n.n2(2n?)2又
2n2n?1时,2?4,(2n?1)?9,?9T2n?Qn; 当
2n2n?2时,2?16,(2n?1)?25,?9T2n?Qn; 当
2nn2012n22n?3时,2?[(1?1)]?(C?C?C???C)?(2n?1). nnnn当
?9T2n?Qn.
综上所述，当
n?1,2时,9T2n?Qn;当n?3时,9T2n?Qn.
点评：比较大小的常见的办法是做差，但关键在于和零比较，要注意在不同的条件下有不同的结果，也就是要根据分类讨论。 例题7. 已知函数
f(x)?x?ln?1?x?,数列
?an?满足0?a1?1,
11b?,b?(n?1)bn1n?1*an?1?f?an?bn??22; 数列满足, n?N.求证:
an2an?1?;0?a?a?1;n?1n2（Ⅰ） （Ⅱ）
a1?2,2则当n≥2时,bn?an?n!.
6
（Ⅲ）若
解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。 答案：解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明
0?an?1,n?N*. 0?ak?1.则当n=k+1时,
（1）当n=1时,由已知得结论成立; （2）假设当n=k时,结论成立,即
f?(x)?1?
因为0 1x??0x?1x?1,所以f(x)在(0,1)上是增函数. ?0,1?上连续,所以f(0) 故当n=k+1时,结论也成立. 即又由 0?an?1, 得an?1?an?an?ln?1?an??an??ln(1?an)?0,从而an?1?an. 0?an?1?an?1. 综上可知 x2x2?ln(1?x)?x22(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0 又g(x)在 ?0,1?上连续,所以g(x)>g(0)=0. an2an2?f?an?an?1?.g?an??00?a?1n22因为,所以,即>0,从而 bn?1n?111b1?,bn?1?(n?1)bn?b?0b222 , (Ⅲ) 因为 ,所以n,nbn? 所以 bnbn?1b21???b1?n?n!bn?1bn?2b12 ————① , an?1anana2a3ana1a2an?1an2?????an?1?,2 , 2, 所以a1=a1a2an?1222知:an由(Ⅱ) a1?22, n≥2, 0?an?1?an?1. 因为 a1n2?a121a1a2an?1???a1n?1nna222所以 n<2<2=2————② . 7 由①② 两式可知: bn?an?n!. 点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。 考点四：数列与函数、向量、概率等的联系 *{a}S?npa(n?N)，并且a1≠a2． nn例题8.无穷数列的前n项和n （1）求p的值； （2）求 {an}的通项公式； 2n11f()?f(x)?a2x?a3x???an?1x，如果S10?45，证明：34． （3）作函数 解析：（1）∵ a1?S1?pa1 ∴ a1?0，且p＝1，或a1?0． 若是a1?0，且p＝1，则由a1?a2?S2?2pa2． ∴ a1?a2，矛盾．故不可能是：a1?0，且p＝1．由a1?0，得a2?0． 又a1?a2?S2?2pa2，∴ p?12． （2）∵ Sn?1?1111(n?1)an?1Sn?nanan?1?(n?1)an?1?nan2222，， ∴ ． (n?1)an?1?nan． ak?1k?ak?1． 当k≥2时，kan?∴ n≥3时有 anan?1????a3?a2?n?1?n?2???2?a2?(n?1)a2an?1an?2a2n?2n?31． * ∴ 对一切n?N有： an?(n?1)a2． 145?S10?10??a10?45a2*a?n?1(n?N)． a?12n （3）∵ ， ∴ 2． 112nf()??2???n3333． 故f(x)?x?2x???nx． ∴ 2n123n3?f()??2???n?13333． 又 8 11??3?1111n111122?f()??2???n?1?n??2?3?1?333333333 ∴ ． 11f()?34． 故 点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。 例题9.已知定义域为R的二次函数 f?x?的最小值为0且有 f?1?x??f?1?x?，直线满足 g?x??4?x?1?被 f?x?的图象截得的弦长为417，数列 ， ?an?a1?2,?an?1?an?g?an??f?an??0?n?N??（1）求函数 f?x?的表达式； n?1?3?an????4?（2）求证 （3）设 ?1； ，求数列 bn?3f?an??g?an?1??bn?的最值及相应的n。 ?1,0?,??416??1,?a? ?a解析：第（2）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最值的方式来解决。 答案：解：（1）设 22f?x??a?x?1??a?0?2，则两图象交点为 ?4??16?2??????417?a?0?a?1,fx?x?1????aa∵???? ∴ （2） ∴ f?an???an?1?,g?an??4?an?1?2?a?an??4?an?1???an?1? ∵n?12?0 ?an?1???4an?1?3an?1??0 a1?2 ∴an?1?n?N? ∵ ?，故4an?1?3an?1?0 ∴ an?1?1?3?an?1?a?1?14，n 3?a?1?是首项为1，公差为4的等差数列 数列n?3??3?an???an?1????4??4?，∴ n?1n?1?1 9 n??3?n?1?2?3?bn?3?an?1??4?an?1?1??3?????4???4????4???（3） 2?3?u???b?y，?4? 令nn?1 21?3?y?3u2?3u?3?u???2?4 ∵n?N? ?则 39271,,,,?∴u的值分别为41664 91经比较16距2最近 189bb当n?3时，n有最小值是256，当n?1时，n有最小值是0。 ?点评：本题二次函数、不等式知识的交汇题，要解决好这类题是要有一定的数学素养的。 1.构造数列{an}例题10.某人抛掷一枚硬币，出现正面、反面的概率均为2，使得 ?1an????1(当第n次出现正面时),记Sn?a1?a2???an(n?N*).(当第n次出现反面时) 2?S6?4的概率. （I）求S4=2的概率； （II）若前两次均出现正面，求 解析：解：（I）若S4=2，则需4次中有3次正面1次反面，设概率为P1，则 113131P1?C4()()?4()4?,2224 1所以，S4=2的概率为4. （II） ?2?S6?4且前两次出现正面，则后4次中有2次正面2次反面或3次正面1 P2?11115212123131??C4()()???C4()?,2222222232 次反面，设其概率为P2，则 52?S6?4的概率为32. ∴若前两次均出现正面，则 点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，要解决好此题要需要冷静，问题本身并不难。 10