2015年全国高考文科数学分类汇编——8.直线与圆
1.【2015高考北京，文2】圆心为?1,1?且过原点的圆的方程是（ ） A．?x?1???y?1??1 B．?x?1???y?1??1 C．?x?1???y?1??2 D．?x?1???y?1??2 【答案】D
【解析】由题意可得圆的半径为r?D.
【考点定位】圆的标准方程.
【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心?a,b?，
2半径为r的圆的标准方程是?x?a???y?b??r．
22222222222，则圆的标准方程为?x?1???y?1??2，故选
222.【2015高考四川，文10】设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4) 【答案】D
【解析】不妨设直线l：x＝ty＋m， 代入抛物线方程有：y2－4ty－4m＝0 则△＝16t2＋16m＞0
又中点M(2t2＋m，2t)，则kMCkl＝－1 即m＝3－2t2
当t＝0时，若r≥5，满足条件的直线只有1条，不合题意，
若0＜r＜5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需对应非零的t的直线恰有2条即可. 当t≠0时，将m＝3－2t2代入△＝16t2＋16m，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3 又由圆心到直线的距离等于半径， 可得d＝r＝|5?m|1?t2?2?2t21?t2?21?t2 由0＜t2＜3，可得r∈(2，4).选D
【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.
【点评】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x＝ty＋m，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.
3.【2015高考湖南，文13】若直线3x?4y?5?0与圆x?y?r点，且?AOB?120（O为坐标原点），则r=_____. 【答案】
2【解析】如图直线3x?4y?5?0与圆x2?y2?r（ 交于A、B两点，O为坐标原点，r＞0）oo222?r?0?相交于A,B两
且?AOB?120，则圆心（0，0）到直线3x?4y?5?0的距离为
1r ，21?r，?r=2 .故答案为2. 2223?45
【考点定位】直线与圆的位置关系
【点评】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则
l()2?r2?d2.本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根2据点到直线距离公式列等量关系.
4.【2015高考安徽，文8】直线3x+4y=b与圆x2?y2?2x?2y?1?0相切，则b=（ ） （A）-2或12 （B）2或-12 （C）-2或-12 （D）2或12 【答案】D
【解析】∵直线3x?4y?b与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴或12,故选D.
【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.
【点评】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元，得到关于x（或y）的一元二次方程，通过判断??0;??0;??0来确定直线与圆的位置关系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，然后再将d与圆的半径r进行判断，若d?r则相离；若d?r则相切；若d?r则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力.
5.【2015高考重庆，文12】若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________. 【答案】x?2y?5?0
223?4?b3?422＝1?b?2【解析】由点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：x?y?5，所以该圆在点P处的切线方程为1?x?2?y?5即x?2y?5?0，故填：x?2y?5?0. 【考点定位】圆的切线.
【点评】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.
6.【2015高考湖北，文16】如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB?2. （Ⅰ）圆C的标准方程为_________； ．．
（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.
y B C A O T x
【答案】（Ⅰ）(x?1)2?(y?2)2?2；（Ⅱ）?1?2. 【解析】设点C的坐标为(x0,y0)，则由圆C与x轴相切于点T(1,0)知，点C的横坐标为1，即x0?1，半
径r?y0.又因为AB?2，所以12?12?y02，即y0?2?r，所以圆C的标准方程为
(x?1)2?(y?2)2?2，
令x?0得：B(0,2?1).设圆C在点B处的切线方程为y?(2?1)?kx，则圆心C到其距离
为：
d?k?2?2?1k?12?2，解之得k?1.即圆C在点B处的切线方程为y?x?(2?1)，于是
令y?0可得
x??2?1，即圆C在点B处的切线在x轴上的截距为?1?2，故应填
(x?1)2?(y?2)2?2和?1?2. 【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.
【点评】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标. 7.【2015高考广东，文20】（本小题满分14分）已知过原点的动直线l与圆
C1:x2?y2?6x?5?0相交于不同的两点?，?．
（1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段??的中点?的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线L:y?k?x?4?与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；
若不存在，说明理由．
25253?9?5???k?【答案】（1）?3,0?；（2）?x???y2???x?3?；（3）存在，?772?4?3??2或k??3． 4【解析】
试题分析：（1）将圆C1的方程化为标准方程可得圆C1的圆心坐标；（2）先设线段??的中点?的坐标和直线l的方程，再由圆的性质可得点?满足的方程，进而利用动直线l与圆C1相交可得x0的取值范围，即可得线段??的中点?的轨迹C的方程；（3）先说明直线L的方程和曲线C的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:y?k?x?4?与曲线C只有一个交点时，k的取值范围，进而可得存在实数k，使得直线L:y?k?x?4?与曲线C只有一个交点．
2试题解析：（1）圆C1:x2?y2?6x?5?0化为?x?3??y?4，所以圆C1的圆心坐标为
2?3,0?
（2）设线段AB的中点?(x0,y0)，由圆的性质可得C1?垂直于直线l.
设直线l的方程为y?mx（易知直线l的斜率存在），所以kC1??m??1，y0?mx0，所以
y0y3?9?222?0??1，所以x0?3x0?y0?0，即?x0???y0?. x0?3x02?4?因为动直线l与圆C1相交，所以所以y0?mx0?22223mm2?1?2，所以m2?4. 5424252x0，所以3x0?x0?x0，解得x0?或x0?0，又因为55350?x0?3，所以?x0?3.
33?9?2所以M(x0,y0)满足?x0???y0?2?4?22?5???x0?3? ?3?3?9?5??即?的轨迹C的方程为?x???y2???x?3?.
2?4?3??（3）由题意知直线L表示过定点T(4,0)，斜率为k的直线.
3?9?5??结合图形，?x???y2???x?3?表示的是一段关于x轴对称，起点为
2?4?3??2