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Http://www.jyeoo.com ∴ ∴PC2=PE?PF．
（2）解：∵PE=2，EF=6，∴PF=8， ∵PC2=PE?PF，∴PC2=16∴PC=4， ∵DC∥FB
∴，
又DC=8，∴ ∴FB=16．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及菱形的性质和相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握． 24、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且∠AED=∠B，在DE上取一点F，使AF=AE． （1）请直接写出图中所有相似的三角形（不必证明）；
（2）若，BC=3BE，求DE?DF的值．
（可以直接使用第（1）小题结论）．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。 专题：计算题。 分析：（1）根据相似三角形的判定方法可直接得出答案．
（2）利用△ABE∽△DEA，将已知数值代入求得BE，再利用△AFD∽△DCE即可得出DE?DF的值． 解答：解：（1）△ABE∽△DEA，△AFD∽△DCE． （2）∵BC=3BE， ∴设BE=x，则BC=3x， ∴AD=3x，EC=2x，
由△ABE∽△DEA，得：，
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Http://www.jyeoo.com ∵， ∴，
∴x=2，
又由△AFD∽△DCE，
得DE?DF=AD?EC=3x×2x=6x2， ∴DE?DF=24． 故答案为：24．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是利用相似三角形的性质，先求出BE，然后再求DE?DF的值，总之难度不大，是一道基础题． 25、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
考点：锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性质。 专题：代数几何综合题。 分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；
（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED=EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答． 解答：解：（1）∵AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴，
∵DF∥AB，，
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Http://www.jyeoo.com ∴，（1分） ∴，（1分）
在Rt△DEF中，；（2分）
（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE=x，∵BC⊥AC， ∴EH∥BC， ∴∠AEH=∠B， ∵∠B=∠A，
∴∠AEH=∠A，，（1分）∴，
又可证△HDE∽△CFD，
∴，（1分）
∴，
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Http://www.jyeoo.com ∴
；（2分）
（3）∵，CD=3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能．（1分） 当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）
可得：∴此时F与C重合， ∴BF=6；（2分）
，即点E在AB中点，
当ED=EC时，点F在BC的延长线上，过点E作EM⊥CD于点M，（如图②） 可证：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形， ∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC=90°， ∵∠FDC+∠F=90°， ∴∠F=∠EDM． ∴△DFC∽△DEM，
∴，
∴，
∴CF=1，∴BF=7，（2分） 综上所述，BF为6或7．
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Http://www.jyeoo.com 点评：本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．
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Http://www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有：
HJJ；zhjh；hnaylzhyk；caicl；Linaliu；hbxglhl；zcx；yeyue；WWF；ZJX；王岑；fxx；nhx600；499807835；HLing；ln_86。（排名不分先后） 菁优网
2011年12月29日
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