第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组)
总分
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题（初中一年级组·练习用）
一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）
1. 点O 为线段 AB 上一点， ?AOC ? 10? ， ?COD ? 50? ， 则 ?BOD ?
或
．
A O B
2018?12k2.已知 m ＞0 ，且对任意整数 k，均为整数，则 m 的最大值为 ．
3m
x 的最大整数，如[?1.3] ? ?2 ， [1.3] ? 1 ． 3. [ x] 表示不超过
129[a?]?[a?]?K?[a?]=4 ，则 已知a 的取值范围是 ． 101010
4. 使 2n ?1 和11n ?121都是平方数的最小正整数 n 为 ．
5. 在3? 3 的“九宫格”中填数，使每行每列及每条对角线上的
三数之和都相等．如图，有 3 个方格已经填的数分别为 3， 10，2018，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和等 于
．
6. 已知某三角形的三条高线长 a，b，c 为互不相等的整数，则 a ? b ? c 的最小值
为 ．
7. 16 张卡片上分别写着 1~16 这 16 个自然数，把这 16 张卡片分成 4 组，使得
每组卡片张数一样，每组卡片上所写数的和相等，且每组有两张卡片上的数 的和为 17，共有 种分法．(说明：不考虑组的顺序，也不考虑组内数字的
顺序．例如将 1~16 分为四组后，保持各组内数字不变，只改变组的顺序或组内数字 的顺序，视为相同的分法．)
则 8. a ，b ，c 是三个不同的非零整数，
abc的最小值为
4ab?2bc?3ca．
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组)
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9. 现有两种理财方式供王老师选择．方案一：购买一款分红产品，前三年每年
年初交 10 万元，第 6 年年初返 6 万元，以后每年处返1.5 万元；方案二：购 买一款年利率 5%，满一年计息的储蓄产品，第一年初存款 10 万元，接下来 两年每年年初追加本金 10 万元，并将之前的本息全部续存．请问哪个选择更
划算？请说明理由．（参考数据：1.054 ? 1.053 ? 1.052 =3.47563125 ）
10. 如图，考古发现一块正多边形的瓷砖残片（如图），瓷砖上已不能找到完整
的一个“角”，考古专家判定 D ，E 两点是该正多边形相邻的两个顶点，C ， D 两个顶点之间隔有一个顶点． 经过测量 ?CDE ? 135? ， DE ? 13 厘米．原 正多边形的周长是多少厘米？
11. 一筐苹果，若分给全班同学每人 3 个，则还剩下 25 个；若全班同学一起吃，
其中 5 个同学每人每天吃 1 个，其他同学每人每天吃 2 个，则恰好用若干天 吃完．问筐里最多共有多少个苹果？ 12. 给定一个 5×5 方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）
中的连续 3 个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白 格）．如果开始时所有 25 个小方格均为白色，请问：能否经 过 8 次这样的操作，使得 5×5 方格网恰好变为黑白相间（如图 所示），且任何一个小方格在前 4 次操作中至多变色 1 次？如 果能，请给出一种操作方案（直接画出第 4，5，6，7 次操作后的方格网颜色）； 如果不能，请给出证明．
三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
3 个有理数的平方和等于 15． 13. 求证：不存在
14. 如图，一个由 41 个小方格组成的棋盘．先将其中的任
意 8 个方格染黑， 然后按照以下规则继续染色：如果 某个方格至少与 2 个黑格都有恰好 1 个公共顶点，那么 就将这个方格染黑．这样操作下去能否将整个棋盘都染 成黑色？