习题5
5.1 已知vx?y?2z,vy?z?2x,vz?x?2y,求：
(1)涡量及涡线方程；（2）在z=0平面的面积dS=0.0001上的涡通量。 解：（1）
??(??z?y???y?z)i?(??x?z???z?x)j?(??y?x???x?y)k?(2?1)i?(2?1)j?(2?1)k?i?j?k
所以 流线方程为 y=x+c1,z=y+c2 (2) J?2wnds?2*0.5*0.0001?0.0001m/s ?5.4设在（1，0）点上有???0的旋涡，在（-1，0）点上有????0的旋涡，求下列路线的速度环流。 (1)x?y?4;(2)(x?1)?y?1;(3)x??2,y??2的方框。2222
（4）x??0.5,y??0.5的方框。解：（1）由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0，所以??vdl?2?wnds?0
cs（4）由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0，所以???vdl?0
c5.6如题图5.6所示，初始在（0，1）、（-1，0）、（0，1）和（0，-1）四点上有环量?等于常
值的点涡，求其运动轨迹。
解：取其中一点（-1，0）作为研究对象。
vCA?vBA?vBA??4??22??22?
vA?vCA?vBAcos45?vBAcos45?3?4?由于四个涡相对位置将不会改变，转动角速度为：
w?var?3?4?3?4?t3?4?
v?wt?用极坐标表示为r=1, ??t
同理，其他点的轨迹与之相同。
5.10如题图5.10所示有一形涡，强度为，两平行线段延伸至无穷远，求x轴上各点的诱导速度。
解：令（0，a）点为A点，（0.-a）为B点 在OA段与OB段
v1?v2??4?x(cos90?(cos0?aa?xaa?x2222))a?x)22?4?xa
?vx?2(v1?v2)??2?xa(x?习题六
6.1平面不可压缩流动的速度场为 （1）vx?y,vy??x; (2) vx?x?y,vy?x?y; (3) vx?x?y,vy??2xy?y;
判断以上流场是否满足速度势和流函数存在条件，进而求出。 解：
22?存在??V?0?存在?vx?x??(?vy)?y
（1）?存在
?vy?x??(vx)??2??x ?y?vx?x?0......?(?vy)?y?0??v
????v?ydx?vxdy?x?y222+c
?vy?(vx)?y（2）
?x?vx?x?2????1....?(?vy)?y
??(?x?y)?y??1???（3）
?vy?x??(vx)?y?0???
???vx?x?vxdx?vydy?x/3+x/2-xy-y/2+c
?2x?1....?(?vy)?y?2x?1 ???
3222（4）
???-vydx?vxdy??y3/3+x2y+yx+c
6.2证明函数f=xyzt是速度势函数，而且流场不随时间变化。 证：f=xyzt
1)???02)?(??)?0?f是速度势函数流线方程dxyzt?dyxzt?dzyxt?dxyz?dyxz?dzyx2
?流场不随时间变化6.3有一种二维不可压缩无旋流动，已知vx?kxy，k为常数，求vy。 解：
?无旋??vy?x?vy?x??(vx)?y2?0??kx?vy?kx?cy?vx?x??(vy)?y2?不可压??vy?y?0
???ky?vy?ky?cx22?vy?k(x?y)?c6.4已知速度势，求复势和流函数： （1）??Ux?xx?yyx?y22222；
（2）??Ux?；
（3）??ln解：
(x?a)?y(x?a)?y222；
按题意，应有??w???i?1)??Ux?xx?y22为均匀流动，叠加一偶极子?w?Uz?1/zi??U(iy)?Im(2)??Ux?yx?y22zz?z)?Uyi??yix?y22???Uy?yx?y22为均匀流动，叠加一偶极子旋转90 ?w?Uz?i/zi??U(iy)?Im(3)??lnizz?z22)?Uyi?22xix?y22???Uy?2xx?y222(x?a)?y(x?a)?yz?az?a2?lnRe(z?a)?lnRe(z?a)?w?2ln
2x?a6.5分析如下流动是由那些基本流动组成：
??lnIm(z?a)?lnIm(z?a)?lnx?a解：（1）匀直流 点涡 偶极子
（2） 点源 点汇 两点涡 （3）两源一汇
6.6幂函数W?Azn,式中A为实常数，n=?/a,?/2,0
W(z)=(1+i)ln(z2?1)?(2?3i)ln(z2?4)?1/z 求（1）沿圆周x2?y2=9的速度环量?；（2）通过该园的体积流量 解：
W(z)=(1+i)ln(z?1)?(2?3i)ln(z?4)?1/z
22点涡 i[ln(?zi?)在x2?y2《9内
i2?2?ln?(iz2?i)]3z?[lni(?2z)? iln(2)][ln(z?i)?ln(z?i)]?26?2?i[ln(z?2i)?ln(z?2i)]
???8?
点源
2?2?[ln(z?i)?ln(z?i)]?24?2?[ln(z?2i)?ln(z?2i)]
Q?12?1/z是偶极子无涡无源
6.9直径为2m的圆柱在水下10m深处以速度10m/s做水平运动（见题图6.9），水面大气压
p0?101325N/m，水密度??1000kg/m，不考虑波浪影响，试计算A、B、C、D四
23点压力。
解：