第七章 势流理论（二）
本章主要讨论：
轴对称有势流动和机翼绕流的有关理论。
§7.1 轴对称流动
一条曲线绕轴旋转一周形成的物体形状称为旋成体。
当来流沿旋成体中轴线方向绕流旋成体时，通过中轴线的各子午面上的流动均相同，这种流动称为轴对称流动。比如，均匀流绕圆球的流动。
r
V?x
轴对称轴
对于无旋轴对称流动，存在速度势函数φ和流函数? 。 但，速度势函数φ是调和函数，流函数 ? 不是调和函数。
采用柱坐标(r,?,x)，设 x 轴为对称轴，流动参数不随 ? 变化。
vr?vr(r,x,t) vx?vx(r,x,t)
比如： 圆球x 不可压缩流体的轴对称势流应该满足：
连续性方程：??rvr???rvx???0 无旋条件：?r?x?vr?vx??0 ?x?r如果存在物体壁面S，速度应该在物面上满足边界条件：
物面法向流速为零：v?n?0 无穷远处流速：Sv?V?
?求解不可压缩流体轴对称势流问题的主要任务就是寻求满足以上方程组和边界条件的速度矢量。
有两种数学求解途经:
1
途径一：控制方程：?2?1???2????2??2?0
?rr?r?x2物面无穿透条件：V?n?0 无穷远处来流：VS??V?
这里：vr???,?rvx??? ?x速度势函数φ是调和函数，可以采用叠加法求解。
途径二：控制方程：?2?1???2?D??2???0
?rr?r?x22物面无穿透条件：V?n?0 无穷远处来流：VS??V?
这里：
vr??1??,r?xvx?1?? r?r流函数函数Ψ不是调和函数，称为斯托克斯函数。但它是线性的，也可采用叠加法求解。
一.基本的轴对称势流：
1.均匀直线流：
r V?x 轴对称轴
vr?0,?又?vr?vx?V?,v??0
?????0,vx??V? ??r?x1??1??vr???0,vx??V? ?r?xr?r??V?x
??V?r2
122.空间点源(汇)流：
(0 , 0)处有一点源 Q ： Q?4?RvR
2 2
r R ? x 如图，有：vR?QQ ?2224?R4?r?x?????Qr ?vr?vRsin???22?r4?r2?x2r?x?????Qx ?vx?vRcos???2222?x4?r?xr?x??????Q1 ?4?r2?x2又：??rxQ?rvx??r4?r2?x2??32 且：??r2Q??rvr??x4?r2?x2??32
????Qx ?4?r2?x2即：
???Q1?,224?r?x???Qx ?224?r?x当点源在 x0 点（轴对称轴上），速度势函数和流函数为：
r x0 Q1?4?r2??x?x?20x ??????x?x0Q ?4?r2??x?x?203.空间偶极子流：
令：
?x?0Q??limQ?x?M?0
3
r ?x -Q Q x 令：11???222r2??x??x?Q?x?r?x??lim?x?04???xQ??????????M???4??x??????x???M??4?r2?x2r2?x2?1??32
?Mx????4?r2?x2??32 亦可得：Mr2???4?r2?x2??32
当偶极子在 x0 点（轴对称轴上），速度势函数和流函数为：
x?x0M????4?r2??x?x?20??32Mr2???3 224?r??x?x?20??
*二.均匀来流绕圆球体的流动：
采用球坐标（R，θ，λ）。柱坐标与球坐标的关系为： r?Rsin?x?Rcos?
r V?12R ? x 均匀流： ??V?x??V?r2
Mx偶极子流： ????4?r2?x2??32Mr2???4?r2?x2??32
叠加后得到： ??V?Rcos??求出速度： ?Mcos?24?R??V?R2sin2??12Msin2? 4?RvR????M1???V??s ?co??R?2?R3?1??M1?????V??sin? 3?R??4?R???v?? 4
3在球表面 vR = 0 ，故： M?2?R0V? ?R0?3M 2?V??33?R0?1?2R0?2?????V???R?2R2?cosθ ψ?2V??R?R?sinθ
????3?R03??R0????vR?V???1?R3?cosθ vθ??V??1?2R3?sinθ
????相应地：球表面速度分布： vR?03vθ??V?sinθ
2设无穷远处压强为 p?，由伯努利方程，有： p???V?22?p??V22?p???VR2?V?2?2
于是，得到球表面的压强分布： p?p??球表面的压强系数分布： Cp?1??V?2?92??1?sinθ? 2?4?92sinθ 4流体作用在球体上的阻力和升力均为零。
例1: x =d，点汇 –Q；x = -d，点源 Q，与均匀流 V? 叠加。求流函数和物面形状。
r V? Q - Q x d 兰金体 d 解: 叠加三个基本势流的流函数，得到：
1Qx?dQx?d ψ?V?r2????222224?r??x?d?4?r??x?d?令 ? = 0，得到零流线方程：
1Qx?dQx?dV?r2?????0 24?r2??x?d?24?r2??x?d?2代数方程给出了两条曲线，一条是与轴重合的直线，另一条是卵形封闭曲线。
显然，流函数Ψ = C.给出了均匀直线流绕流卵形回转体所形成的势流流场的流线。这类卵形回转体也称为兰金（Rankine）体。
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