http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-2.htm 一、方差 例1
例1 比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数?分
89??7??01.0.601.?? ?布为 ：
8910??67??.0.20.40.201.?. ?：?01问哪一个技术较好？
首先看两人平均击中环数，此时E??E??8，从均值来看无法分辩孰优孰劣. 但从直观上看，甲基本上稳定在8环左右，而乙却一会儿击中10环，一会儿击中6环，较不稳定.因此从直观上可以讲甲的射击技术较好.
上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的离散程度.
称?-E?为随机变量?对于均值E?的离差(deviation)，它是一随机变量. 为了给出一个描述离散程度的数值，考虑用E???E??，但由于
E???E??=E??E?=0对一切随机变量均成立，即?的离差正负相消，因此用
E???E??是不恰当的. 我们改用E???E??描述取值?的离散程度，这就是方差.
定义1 若
E???E??22存在，为有限值，就称它是随机变量?的方差
(variance)，记作Var?,
E??E??Var?=?
2 (1)
但Var?的量纲与?不同，为了统一量纲，有时用Var?，称为?的标准差(standard deviation).
??E??方差是随机变量函数?计算公式
2的数学期望，由§1的(5)式，即可写出方差的
??(xi?E?)2P(??xi),离散型,?i?????2??(x?E?)2p?(x)dx，连续型.(x?E?)dF(x)? Var?=???=??? (2)
进一步，注意到
E???E??2=E???2?2?E???E??2??=E?2??E??2
即有 2
E???E??2 Var?=.
(3)
许多情况，用(3)式计算方差较方便些. 例1(续) 计算例1中的方差Var?与Var?. 解 利用(3)式 E?2=
?x2iP(??xi)i=72×0.1+82×0.8+92×0.1=64.2,
2
Var?=E?2??E??=64.2--82=0.2.
同理, Var?=E?2??E??2= 65.2-64 = 1.2 > Var?, 所以?取值较?分散. 明甲的射击技术较好.
例2 试计算泊松分布P(λ)的方差.
?E?2??2?k???ke??解
?kk?0k!e??kk?1(k?1)!
??kke????(k?1)???
?k?1(k?1)!?e?k?1(k?1)! ?j???2j?e???j?
?j?0j!???j?0j!e?
??2??
所以Var???2??????2.
例3 设?服从[ a, b ]上的均匀分布U [a, b]，求Var?.
E?2??bx21解
adx?1?a2?ab?b2b?a3?,
?1?1?2 Var?3?a2?ab?b2????2?a?b????112?b?a?2.
例4 设?服从正态分布N?a,?2?，求Var?.
这说
解 此时用公式(2)，由于E??a,
1?(x?a)2/2?2??(x?a)edx2????E(??a)?2?Var
??2?2?2?
????z2e?z/2dz
2
?2?2?
??ze?z2/2?????e?z2/2dz??????????
?2??2???22? .
可见正态分布中参数?就是它的方差, ?就是标准差. 方差也有若干简单而重要的性质. 先介绍一个不等式.
切贝雪夫(Chebyshev)不等式 若随机变量的方差存在，则对任意给定的正数ε，恒有
P???E?????Var??22. (4)
证 设?的分布函数为F?x?，则
P???E????=?|x?E?|??dF(x)??|x?E?|??(x?E?)2?22dF(x)
2 ??1?????(x?E?)2dF(x)=Var?/?.
这就得(4)式.
切贝雪夫不等式无论从证明方法上还是从结论上都有一定意义. 事实上，该式断言?落在???,E????与?E???,???内的概率小于等于Var?/?，或者说，
2?落在区间?E???,E????内的概率大于1-Var?/?2，从而只用数学期望和方差就可对上述概率进行估计. 例如，取 ε=3Var?，则
P??E??Var??1?Var????3Var??2≈0.89.
Na,?当然这个估计还是比较粗糙的（当?～?2?时，在第二章曾经指出,
P(|ξ-E?|?3Var?)=P(|ξ-a|?3σ)≈0.997 ).
性质1 Var?=0 的充要条件是P(ξ=c) =1，其中c是常数.
证 显然条件充分. 反之，如果Var?= 0，记E?= c, 由切贝雪夫不等式,
P(|ξ- E?|?ε)=0
对一切正数ε成立. 从而
P???c??1?P???c?0?
?1?limP???c?1n??1n??.
性质2 设c,b都是常数，则
2 Var(c?+b)=cVar?.
2 (5)
证 Var(c?+b)=E(c?+b-E(c?+b))=E(c?+b-cE?-b)
2E(??E?)22c ==cVar?.
2性质3 若c?E?, 则
2Var??E???c?22.
222证 因 Var?=E?-(E?), 而 E(ξ-c)=E?-2cE?+c, 两边相减得
Var??E???c????E??c??022.这说明随机变量ξ对数学期望E?的离散度最小.
Var(??i)i?1n性质4 =
?Var?i?1ni+21?i?j?n?E(?i?E?i)(?j?E?j) (6)
特别若?1,?,?n两两独立，则
Var(??i)i?1n =
?Var?i?1ni. (7)
证 Var(i?1??)in=E(i?1??ni-E(i?1??))in2=E(?(?i?E?i))2i?1n
= E(?(?i?E?i)2?2i?1n1?i?j?n?(?i?E?i)(?j?E?j))
=
?Var?i?1ni+21?i?j?n?E(?i?E?i)(?j?E?j),
得证(6)式成立. 当?1,?,?n两两独立时，对任何1?i,j?n有E?i?j?E?iE?j， 故
E(?i?E?i)(?j?E?j)=E(?i?j??iE?j??jE?i?E?iE?j) =E?i?j?E?iE?j=0, 这就得证(7)式成立.
利用这些性质，可简化某些随机变量方差的计算. 例5 设ξ服从二项分布B(n, p), 求Var?.
解 如§1例12构造?i,i?1,?,n, 它们相互独立同分布，此时
22222??E??(E?)?1?p?0?q?piii Var=pq.
由于相互独立必是两两独立的，由性质4
Var??Var(??i)??Var?ii?1i?1nn
?npq.
2例6 例6 设随机变量?1,?,?n相互独立同分布, E?i?a, Var?i=?,
1n?i?(i?1,?,n). 记?=ni?1, 求E?,Var?.
解 由§1性质2和本节性质2和4有
1n??E?iE?ni?1?a,
1?2Var?n2?12Var?i?2n???nn. i?1n这说明在独立同分布时，?作为各?i的算术平均，它的数学期望与各?i的数学期望相同，但方差只有?i的1/ n倍. 这一事实在数理统计中有重要意义. 例7 设随机变量ξ的期望与方差都存在,Var??0. 令