四、矩
矩(moment)是最广泛的一种数字特征，常用的矩有两种，一种是原点矩, 对正整数k,
mk?E?k
称为ξ的k阶原点矩. 数学期望就是一阶原点矩. 另一种是中心矩, 对正整数k，称
ck?E(??E?)k
为ξ的k阶中心矩. 方差是二阶中心矩.除此以外，三阶与四阶中心矩也是常用
3/2c/c32的，它们分别表示随机变量的性状. 往往用他们的相对值. 称为偏态系
2c/c?3为峰态系数，42数，当它大于0时为正偏态，小于0时则为负偏态. 称
当它大于0时表明该分布密度比正态分布更为尖峭.
2例10 设ξ为服从正态分布N (0,?)的随机变量，此时E??0，且
1mn?cn??2??????xen?x22?2dx
?0,n?2k?1,??n ?1?3???(n?1)?, n?2k.
4m?c?3?44特别 .故不论σ为多少，正态分布的偏态系数与峰态系数都为0.
我们可以用原点矩来表示中心矩：
?k?rr?ck???(?1)m1mk?r;?r?r?0??
k反过来，我们也可以用中心矩来表示原点矩：
?k?rr?mk???(?1)mck?r.1?r?r?0??
k我们也定义?阶绝对矩
Mk?E|?|?, 其中?是实数.
对于例10中的随机变量?
?2k2k!?2k?1,n?2k?1?nE|?|????1?3???(n?1)?n,n?2k?
利用上述结果，可以求出其他某些分布的矩. 如瑞利分布, 具有密度
R?(x)?x?e2?x22?2,x?0，那么
??E???因此，
n0xnx?e2?x22?2dx?12?2?????|x|ex?1?x22?2dx.
??n?1?3?n?,nE???2n?2k?1,?2kk!?2k? n?2k.
特别，
E????222，E??2?. 因此，方差
???2?(2?)?22.
再如，马克斯威尔分布具有密度
p(x)?2??1sxe2?x22?2,x?0?x2，那么
E??因此，
n2??3???0xn?2e?x22?2dx??32??????|x|n?2e2?2dx
?1?3???(n?1)?n,?E?n??2kn?2k,2(k?1)!?2k?1,??? n?2k?1.
特别，
E??2?222?E??3?.
, 例11. 如果?服从参数为?的指数分布，那么 对于k?1，
E???根据递推关系得
k??0x?ek??xdx?k?E?k?1.
E?k?k!?k.
即指数分布的任意阶矩存在.