《高等数学Ⅰ》练习题
系 专业 班 姓名 学号 7．1 常数项级数（1）
一．选择题 1．若级数
?n?un?1n收敛，记Sn??ui?1i，则 [ B ]
（A）limSn?0 （B）limSn存在
n??n?? （C）limSn可能不存在 （D）?Sn?为单调数列
n?? 2．若级数
??un?1n?n及
?vn?1?n都发散，则 [ C ]
? （A）
?(un?1??vn)发散 （B）?unvn必发散
n?1?22|?|vn|)必发散 （D）?(un?vn)必发散
n?1 （C）
?(|un?1n 3．已知级数
?(?1)n?1?n?1an?2，?a2n?1?5，则级数?an= [ C ]
n?1n?1?? （A）3 （B）7 （C）8 （D）9 4．已知级数
?n?n?1??ln2是收敛的，则必有 [ C ]
（A）??ln2 （B）??1 （C）??1 （D）??0 ln2 5．正项级数
??an?1n?n和
?bn?1?n满足an?bn，则一定 [ B ]
?? （A）若
?an?1?收敛，则
?bn?1??n收敛 （B）若
?bn?1?n收敛，则
?an?1?n收敛
（C）若
?bn?1n发散，则
?an?1n发散 （D）若
?an?1n收敛，则
?bn?1n发散
二．填空题
39
1．级数
?(3)n?0??2n的和为 3
2．级数
1?n?1(2n?1)(2n?1)5的前五项的和是 11
3．设级数
?(3?un?1?n)收敛，则limun? 3
n??三．判定下列级数的收敛性 1．
?(n?1?n?2?2n?1?n)
n
解：Sn?(k?2?2k?1?k)?1?2?n?2?n?1 k?1
?limS?lim(1?2?n?2?n?1)?1?2?lim(n?2?n?1)n?? n??nn??1
?1?2?lim?1?2n?? n?2?n?1
?1111??3???n?? 55551limun?limn?1?0， 解：由于
n??n??5
所以1?1?1???1??发散n55355
2． 3．(11111111?)?(2?2)?(3?3)???(n?n)?? 2323232311 11?n?1?n?111111111 33?1?1?1(1?1)22解：Sn?(?)?(2?2)?(3?3)???(n?n)??nn1123232323223 1?1?23
1113
所以limSn?lim[1?n?(1?n)]?，收敛n??n??2232
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《高等数学Ⅰ》练习题
系 专业 班 姓名 学号 7．1 常数项级数（2）
一．选择题
?an 1．若级数?bn收敛，且lim?1，则?an [ D ]
n??bn?1n?1n?? （A）收敛 （B）发散 （C）收敛且其和与
?bn?1n的和相等 （D）不一定收敛
2．下列级数中，收敛的是 [ A ]
???2n?1111 （A）? （B） （C） （D） sintan???n3nnn(n?1)n?1n?1n?15n?1?3．设
?an?1?n为正项级数，下列结论中正确的是 [ B ]
（A）若limnan?0，则级数
n???an?12?n收敛 （B）若limnan??(??0)，则级数
n???an?1?n发散
（C）若级数
?an?1?n收敛，则limnan?0 （D）若级数
n???an?1?n发散，则limnan??(??0)
n??三．讨论下列级数的收敛性 1．
lnn(a?0) ?n1?an?1??? lnn111lnn解：(1)当0?a?1时，n??，而发散，所以发散。n 1?a1?an221?an?1n?1 ln(n?1)?n?1 lnnlnn1lnna(2)当a?1时,?,又因为lim??1,所以(a?1)收敛。n n??lnn1?ananaan?1n a? lnn所以收敛。n
n?11?a
????
41
n22．?
1n?1(n?)nn? n2nn2解：由于lim?limn??1?0?0?1，2 n??n1nn??n?1(n?) n ?n2收敛。 所以由根值判别法知，1n?1(n?)n
n
? 3．2sin?3?22sin?32?23sin?33???2nsin?3n??
nn??2?2?n 解：由于2sin?,又因为收敛，nnn33n?13
所以原级数收敛。
?an 4．?s(a?0,s?0)
n?1n? uns解：由于limn?1?lima()?a，n??un?? n?1n ?an收敛。 (1)当0?a?1时，级数sn?1n
n?a (2)当a?1时，级数发散。snn?1
?1
(3)当a?1时，级数，当s?1时收敛，当s?1时发散。s nn?1
??? 42
《高等数学Ⅰ》练习题
系 专业 班 姓名 学号 7．1 常数项级数（3）
一．选择题
1．下列级数中发散的是 [ C ] （A）
?n?1?(?1)n?1??(?1)n(?1)n?1nn （B）? （C）?(?1)e （D）? 3n(n?1)n?1nn?1ln(n?1)n?1?1 2．设0?an??1(n?1,2,3?)，则下列级数中肯定收敛的是 [ D ] n?n??2 （A）
?an （B）?(?1)an （C）?an （D）?(?1)2an
n?1n?1n?1n?1?n 3．下列级数中条件收敛的是 [ C ]
???n(?1)nn1n1 （A）?(?1) （B）?n?1 （C）?(?1) （D）?(?1) 2n?1nnn?1n?1n?1n?12? 4．设常数k?0，则级数
?(?1)nn?1k?n [ B ] n2 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与k的取值有关
sin2(n?)1 5．设?为常数，则级数?[?] [ B ] 2nnn?1? （A）绝对收敛 （B）发散 （C）条件收敛 （D）收敛性与?有关
1?6．设un?(?1)ln(??n1n)，则级数 [ C ]
?? （A）
?un?1?n与
?un?12n都收敛 （B）
?un?1?n与
?un?12n都发散
（C）
?un?1n收敛而
?un?1?2n发散 （D）
?un?1n发散而
?un?1?2n收敛
二．填空题 1．设级数
?(?1)n?1n?1?0?p?11p条件收敛，则应满足 pn 2．若{un}为单调递减数列，且un?0，又
?n?1?收敛un?un?1收敛，则?un
n?1? 43