1.1 数与式的运算
1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
?a,a?0,?|a|??0,a?0,
??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 例1 解不等式：x?1?x?3＞4．
解法一：由x?1?0，得x?1；由x?3?0，得x?3； ①若x?1，不等式可变为?(x?1)?(x?3)?4， 即?2x?4＞4，解得x＜0， 又x＜1， ∴x＜0；
②若1?x?2，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若x?3，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即2x?4＞4， 解得x＞4． 又x≥3，∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4． 解法二：如图1．1－1，x?1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
义即为 所以，不等式x?1?x?3＞4的几何意|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P为4)的右侧．
x＜0，或x＞4．
练 习 1．填空：
|x－3| A 1 P x C 0 |x－1|
图1．1－1
B D 3 4 x 在点D(坐标
（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.
（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若1?c?2，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若a?b，则a?b （B）若a?b，则a?b （C）若a?b，则a?b （D）若a?b，则a??b 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2；
222（2）完全平方公式 (a?b)?a?2ab?．b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
23（1）立方和公式 (a?b)(a ?ab?2b)?3a?；b23（2）立方差公式 (a?b)(a ?ab?2b)?3a?；b2222（3）三数和平方公式 (a?b?c c)?a?b?c2?(ab?bc?；)a3323（4）两数和立方公式 (a?b) ?a?3ab?3a2b?；b332（5）两数差立方公式 (a?b) ?a?3ab?3a2b?．b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)． 222?(x?1)?x解法一：原式=(x2?1)???
=(x2?1)(x4?x2?1)
=x6?1．
解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1) =x6?1．
例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值． 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8．
练 习 1．填空：
121211a?b?(b?a)（ ）； 942322（2）(4m? )?16m?4m?( )；
（1）
2222（3）(a?2b?c)?a?4b?c?( )． 2．选择题：
1mx?k是一个完全平方式，则k等于 （ ） 21212122（A）m （B）m （C）m （D）m
431622（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值 （ ）
（1）若x?2 （A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式
一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3a?a2?b?2b，a2?b2等是无理式，而2x2?2x?1，x2?2xy?y2，2
a2等是有理式． 1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，等等． 一般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与
ax?b互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式a2的意义
a2?a???a,a?0,
??a,a?0.例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4x6y(x?0)． 解： （1）12b?23b；
（2）a2b?ab?ab(a?0)； （3）4x6y?2x3y??2x3y(x?0)．
例2 计算：3?(3?3)．
解法一：
3?(3?3＝)33?3
＝3?(3?3)
(3?3)(3?3)3
3(3?1)1 ＝
3?1 ＝ ＝ ＝33?3 ＝ 9?33(3?1) ＝
63?1 ＝．
23解法二： 3?(3 ?3＝)3?3例3 试比较下列各组数的大小：
3?1 (3?1)(3?1)3?1． 2（1）12?11和11?10； （2）解： （1）∵12?11? 11?2和22－6. 6?412?11(12?11)(12?11)1， ??112?1112?1111?110?(1?110)(?1110)?11?101?11， 1010?
又12?11?11?10， ∴12?11＜11?10．
22－6(22－6)(22+6)2??, 122+622+6 又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
2 ∴＜22－6. 6?4例4 化简：(3?2)2004?(3?2)2005． （2）∵22－6?解：(3?2)2004?(3?2)2005
＝(3?2)2004?(3?2)2004?(3?2) ＝?(3?2)?(3?2)??? ＝12004?(3?2) ＝3?2．
例 5 化简：（1）9?45； （2）x2?
解：（1）原式?5?45?4
?(5)2?2?2?5?22 ?(2?5)2 2004?(3?2)
1?2(0?x?1)． 2x?2?5?5?2．
11 （2）原式=(x?)2?x?，
xx∵0?x?1， 1∴?1?x， x1 所以，原式＝?x．
x3?3?3? 解： ∵x?y?3?例 6 已知x?23?2，求3x2?5xy?3y2的值 ． ,y?23?223?2??(3?2)2?(3?2)2?10， 23?23?23?2??1， 3?23?2 ∴3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?102?11?289．
xy?练 习 1．填空： （1）1?3＝__ ___；
1?32（2）若(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，则x的取值范围是_ _ ___；
（3）424?654?396?2150?__ ___； （4）若x?2．选择题： 等式5x?1?x?1x?1?x?1，则??______ __． 2x?1?x?1x?1?x?1x?x?2x成立的条件是 （ ） x?2
（A）x?2 （B）x?0 （C）x?2 （D）0?x?2
a2?1?1?a23．若b?，求a?b的值．
a?14．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式
1．分式的意义
形如
AAA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： BBBAA?M?； BB?MAA?M?． BB?M 上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
am?n?p像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2mc?dn?p5x?4AB??例1 若，求常数A,B的值．
x(x?2)xx?2ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4???解： ∵?，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)?A?B?5, ∴?
2A?4,? 解得 A?2,B?3．
111??例2 （1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1111???? （2）计算：； 1?22?39?101111?????． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4n(n?1)211(n?1)?n1??（1）证明：∵?，
nn?1n(n?1)n(n?1)111?? ∴（其中n是正整数）成立．
n(n?1)nn?1（2）解：由（1）可知
111???? 1?22?39?1011111???(? ) ?(1?)?(?)22391091 ?1?＝．
1010