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即(an?an?1)(an?an?1?2)?0
?an?0
?an?an?1?2?0,
即?an?an?1?2,
?数列{an}是等差数列
2n?1 2n1352n?1Tn??2?3??? ①
2222n11352n?1Tn?2?3?4??n?1 ② 22222112222n?1①—②得Tn??2?3???n?n?1
2222222n?3?Tn?3?
2n（2）an?2n?1,则bn?
5.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） {an}为等差数列，且a1?a2n?1?2n，Sn为数列{（1）比较f（n）与f（n+1）的大小；
（2）若g(x)?log2x?12f?n??0，在x∈[a，b]且对任意n＞1，n∈N恒成立，求实数a、b
*
1}的前n项和，设f?n??S2n?Sn an满足的条件。 答案：（1）an=n，f（n+1）- f（n）=S2（n+1）- Sn+1-[ S2n- Sn]= S2（n+1）- S2n- （Sn+1-Sn）
= a2n+2+ a2n+1-an+1 ---------------------------------------------------------3分 =
1111?-=＞0
2n?22n?1n?1(2n?1)(2n?2)∴f（n+1）＞ f（n） ----------------------------------------------------6分
（2）由上知：{ f（n）}为递增数列，只须log2x＜12 f（2）成立，--------------8分 f（2）= S4-S2=
7 ----------------------------------------10分 12∴log2x＜7，
∴0＜x＜128，
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∴0＜a＜b＜128 -----------------------------------------------------12分
6.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1，且满足an=（1）求c的值；
（2）设bn=n·an求数列{bn}的前项和Sn . 答案：（1）2a3 =a2+a1，c=1，c=-（2）
①当c=1时，an=1，bn=n·an=n，
an?1?an?2，n=3，4，5，… 21，----------------------------------------------（3分） 2n(n?1) --------------------------------------------------------------（6分） 211n-1
②当c=-时，an=（-），
221n-1
bn=n·an=n（-），-----------------------------------------------------（8分）
211-112-113-11n-1
Sn= 1·（-）+2·（-）+3·（-）+…+n·（-）
2222112-113-11n-11n-Sn= 1·（-）+2·（-）+…+（n-1）·（-）+ n·（-） 22222442n1n
相减得；Sn=-（+）·（-）--------------------------------------（12分）
9932Sn=
7.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）
n2?n?2(n?N*)． 已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn?2?2（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
n（Ⅱ）设bn?(an?n)(3n?1)，求数列{bn}的前n项和Tn； （Ⅲ）设cn?an?2n?1，证明：
n1c12?1c22???1cn2?33． 20n2?n?2(n?1)2?(n?1)?2n?1答案：（Ⅰ）Sn?2?（1） Sn?1?2? (2)
22 （2)－(1)得：an?1?2?n?1 ，所以 an?2
（Ⅱ）bn?(3n?1)2n?1 Tn?2?20?5?21???(3n?1)?2n?1 （3） 2Tn?2?21?5?22???(3n?4)?2n?1?(3n?1)?2n （4）
nn?1?n
（3分）
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（3)－(4)得：?Tn?2?3?21?3?22???3?2n?1?(3n?1)?2n ?2?3?2n?6?(3n?1)?2n
8.（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟） 已知数列{an}满足a1?0且an?1?2an?n(n?N*) （1）求a2,a3,并证明:an?2?an?1?2(an?1?an)?1; （2）设bn?an?1?an(n?N*),求数列{bn}的通项公式； （3）求数列{an}(n?N*)的通项公式。
答案：（1）a2?2a1?1?1,a3?2a2?2?4………………2分
证明：???an?2?2an?1?n?1
?an?1?2an?n?an?2?an?1?2(an?1?an)?1………………4分
（2）?bn?1?2bn?1
?bn?1?1?2(bn?1)……………………6分
?bn?1?2n?1(b1?1)
?bn?2n?1(a2?a1?1)?1?2n?1………………8分
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（3）当n?2时，有an?an?1?2n?1?1,an?1?an?2?2m?2?1,?,a2?a1?21?1
?an?a2?(2n?1?2n?2???21)?(n?1)…………10分 ?当n?2时an?2n?n?1
而a1?0
?an?2n?n?1(n?N*)………………12分
9.（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟） 设a>2，给定数列{xn},其中x1?a,xn?1（1）xn?2，且xn?1?xn(n?N*); （2）如果2?a?3,那么xn?2?2xn?(n?N*)求证： 2(xn?1)12n?1(n?N*)。
答案：证明：（1）使用数学归纳法证明xn?2
当n=1时，x1?a?2命题成立;
假设当n?k(k?N*)时命题成立，即xn?2.
xn?4xn?4(xn?2)2当n?k?1时,xn?1?2???0
2(xn?1)2(xn?1)即xn?1?2.
综上对一切n?N*,有xn?2.……………………4分 当xn>2时，
2xn?1xn??xn2(xn?1)112(1?)xn?112(1?)2?1
?xn?1?xn(n?N*)………………6分
（2）因为xn>2，所以
xn?21?1??(0,1). xn?1xn?1
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?xn?2?1(xn?2)21?故xn?1?2??(xn?2)??(xn?2)(n?N*)…………10分 ??2(xn?1)2?xn?1?2由此可得xn?2?1111(xn?1?2)?2(xn?2?2)???(x1?2)n?1?(a?2)n?1, 2222a?21xn?2?n?1,所以当a?3时,xn?2?n?1(n?N*)…………12分
22
10.（2008年东北三省三校高三第一次联合模拟）
已知数列?an?的前n项和为Sn，点(an?2,Sn?1)在直线y?4x?5上，其中n?N.令
*（1）求数列?bn?的通项公式；（2）求数列{nbn}的前n项和Tn bn?an?1?2an，且a1?1，
答案（1）∵Sn?1?4(an?2)?5，∴Sn?1?4an?3.
∴Sn?4an?1?3（n?2）. ∴an?1?4an?4an?1（n?2）. ∴an?1?2an?2(an?2an?1)（n?2）. ∴
bna?2an?n?1?2（n?2）. …3分 bn?1an?2an?1∴数列?bn?等比，公比q?2，首项b1?a2?2a1， 而a1?a2?4a1?3，且a1?1，∴a2?6. ∴b1?6?2?4.
∴bn?4?2n?1?2n?1. …6分
（2）?Tn?b1?2b2?3b3???nbn.
?22?2?23?3?24???n?2n?1， ①
∴2Tn?2?2?2?3?2???n?2①-②得 -Tn?2?2?2???2234345n?2. ②
n?1?n?2n?2，
4(1?2n)?n?2n?2 ?1?2
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??4(1?2n)?n?2n?2， …9分 ∴Tn?4?(n?1)?2n?2. …12分