能 量 法
1. 试就图示杆件的受载情况，证明构件内弹性应变能的数值与加载次序无关。
F12(a?b)F22aF1F2a??证：先加F1后加F2，则 V????
2EA2EA2EA先加F2后加F1，则 V???所以 V????V???
2. 直杆支承及受载如图，试证明当F???解：
F22aF12(a?b)F1F2a??? 2EA2EA2EAF2abF12F时，杆中应变能最小，并求出此时的应变能值。 3EAA2lClFBF1FAC?F?F1 ；FBC??F1
(F?F1)22lF12l(F2?2FF1?3F12/2)lV????
2EA2EAEA?V?2F?0： ?2F?3F1?0 ， F1? ?F13V??minF2l? 3EA3. 图示杆系的各杆EA皆相同，杆长均为a。求杆系内的总应变能，并用功能原理求A、B两点的相对线位移?AB。
CaFAaDaaaBF5F2a解： V??
6EA15F2aFΔAB? 26EAΔAB?5Fa ( 拉开 ) 3EAA2lClBF14. 杆AB的拉压刚度为EA，求
(a) 在F1及F2二力作用下，杆的弹性应变能；
F2(b) 令F2为变量，F2为何值时，杆中的应变能最小？此时杆的应变能是多少？ 解： FNAC?F1?F2， FNBC??F2
(F1?F2)22lF22ll(F12?2F1F2?3F22/2)??(a) V??
2EA2EAEAF12l?V?2F1?0，?2F1?3F2?0，F2?(b) 此时 V?min?
3EA?F23
143
5. 力F可以在梁上自由移动。为了测定F力作用在C点时梁的弯曲轴线，可以利用千分表测各截面的铅垂位移。问：如果不移动千分表而移动F力，则千分表应放在x = ?????????处，其根据是??????????????????。 答：l – a ；位移互等定理。
AxFClaB6. 试用能量法证明各向同性材料的三个弹性常数E、G、? 间有关系：G?证：(1) 纯切应力状态应变能密度为 u?E
2(1??)?22G
(2) 纯切应力状态的主应力为 ?1??， ?2?0， ?3??? 应变能密度为：u??2(1??)E
E?2?2(1??)由 =? 得 G?
2(1??)2GE7. 图示简支梁，受均布荷载q作用，试问与广义力q相对应的广义位移是什么？并给予证明。
解：设梁的弯曲轴线方程为w = w(x) ，则广义力q所作之功为
lq W??qdx?w(x)?q?wx(x) dll与广义力相对应的广义位移为梁变形前后其轴线所围的面积。 8. 图示等截面直杆，受轴向载荷F作用，已知杆件的横截面面积为A，材料的应力应变关系为??C?知常数。试计算外力所作的功。
1/2Fl，其中C为已
2F3l解： W?
3C2A29. 处于水平线上的两杆铰接如图所示，两杆拉压刚度均为EA。试求在图示力F作用下的应变能。
lF?l22??EA?解：F?2FNsin??2FN?， ??cos?, FN??A?E?A? l22lCl?F??F????? ? , ???l?l?EAEA????1/31/3EA?3FΔ ( 式中?为C点的最终位移 ) V???Fd???d?? Δ Δl34
144
EI10. 试用莫尔积分法求图示曲杆在力F作用下，截面A的水平位移ΔAx及铅垂位移ΔAy。
为已知。
解：M?FRsin?，M1?Rsin?，M2?R(1?cos?)
RBAF?FR32FR3ΔAx?(?) ， ΔAy?(?)
2EIEI
11. 用莫尔法求图示桁架点A的水平位移ΔAx。各杆EA均相同。 解：F1?F4?1，F2?F3?F5?F6?0
456aa3130?2AFFF1?F4?3F，
ΔAx??
12. 已知梁的EI为常量，试用单位载荷法求下列外伸梁A点的挠度。 解：AB：M(x1)??q0lx1 ， M(x1)??x1 （0?x1?l/3）
CB：M(x2)?FiFili23Fa?(?) EAEAF?q0lABl/33q0C2l/3q0lx2623?x2?x2?3q0???，
?24l?M(x2)??x22 （0?x2?(?)
2l3）
16q0l4wA?405EI
13. 试用莫尔积分法求图示结构C点的铅垂位移。已知杆AC的弯曲刚度EI和BD杆的拉压刚度EA。受弯构件不计剪力和轴力的影响；BD杆不会失稳。
解：梁：CD： M(x)?Fx， M(x)?x
BAaEI45?EAaDEICFAD： M(x)?F(x?a)?2Fx?Fa?Fx， M(x)?a?x 杆： FBD?22F ， FBD?22 2Fa382Fa? ?C y = 3EIEA
145
14. 简支梁受均布载荷q作用如下，弯曲刚度EI已知。试用莫尔积分法求横截面A、C之间的相对角位移?AC。 解：AB：M(x1)? BC：M(x2)?q5qax16?qx122 ，M(x1)?1
AaBC2aqax26 ， M(x2)?1
?AC7qa3?12EI
15. 由两个半圆组成“S”形的等截面弹簧片，截面的弯曲刚度为EI。该弹簧在B端受水平力F作用。试用莫尔积分法求该弹簧的刚度。 解：取一半计算水平位移?
ArCBrF? M(?)?F?rsi?n ， M?rsinΔ11?MMds?2EI?EI?π0Fr2sin2??rd?
?Fr3可得： Δ?
EI弹簧刚度：k=FEI?0.323Δr
A545?41BF16. 试用单位载荷法求图示桁架中杆AB的转角。各杆的拉压刚度EA相同，且均为常数。 解：?AB??FiFiliF?42?2 （顺时针） EAEA345?F2??17. 试用单位载荷法计算图示结构中铰链A左、右两截面间的相对转角?A 。设各杆的弯曲刚度EI相同，且均为常数。
RAFR2(??2)解： ?A = ?A?（反向转动）
4EI18. 图示一缺口圆环，?? 为很小的角度，?? 、EI和R均已知。为使缺口处两截面恰好密合，试问在缺口处的两截面上应加多大的力偶M。必须验证此时两截面的相对线位移为R??? 。（用莫尔积分法） 解：M(?)?M ，M(?)?1
R???AB?
???EI2MR? ???，M?2?REI146
AB19. 图示位于水平面内的半圆形构件，其平均半径为R，C端固定A端自由并作用一铅垂力F。杆的EI及GIp均为常数。用莫尔积分法求A端铅垂位移和水平位移的表达式。 解：My?FRsin? ，My?Rsin?
FAART?FR(1?cos?)，T?R(1?cos?) ?FR3?13? Δx?0 ， Δy? ????2?EIGIp??CC20. 半径为R的开口圆环受力如图所示，A点F力垂直纸面向外，B点F力垂直纸面向里。EI及GIp均为常数。试用莫尔积分法求开口处A及B两点的相对铅垂位移。 解：M?FRsin?， M?Rsin?；
T?FR(1?cos?)，T?R(1?cos?) ?FR33?FR3 ΔAB??EIGIpRFFAB21. 由拉杆AB、AC和小曲率杆BDC组成的结构及其受力情况如图。已知各杆的截面积均为A，弯曲刚度均为EI。试用莫尔积分法求B、C 两点之间的相对位移。
B解：FAB?FAC?F
M?32FRsin??FR2(1?cos?)，M?Rsin?
30?FA30?RDF(2?3?)FR31.86FR3??BC = ΔAB? （两点靠近）
4EIEI
C22. 薄壁圆环的受力如图所示。已知该环的宽度b、厚度h（见图），弹性模量E。试用莫尔积分法求缺口两侧面的相对线位移和相对角位移。 解：(1) 相对线位移：
ΔAA1AA1RFhb??FR3FR3???2???6(4??)（张开） 2?EIEbh3?Fh(2) 相对角位移：
?AA
12FR224FR2（张开） ??EIEbh3147
C