45. 带中间铰链的等直梁ABC受力如图所示，已知q、a及弯曲刚度EI。试用图乘法求：
(1) 中间铰链B左右两侧截面的相对转角； (2) B点的铅垂位移。
AqB2M =eqaCaa3qa3解： ?BB??（B面左逆时针，右顺时针）
8EI5qa4wB?(?)
24EI46. 图示平面刚架各杆的EI和GIp均相同。试用图乘法求在铅垂力F作用下缺口两侧沿铅垂方向的相对位移?。 解：? =Δ?Ozyxa/2Fa/2FbaF(a?4b)Fab(a?2b)?
6EI2GIp33q=F/aBa/347. 用图乘法求图示刚架A截面转角?A及B截面水平F位移ΔBx，EI为常数。 解：?A?aa187Fa2216EI（顺时针）
151Fa3ΔBx?216EIΔCy，EI为常数。
(?)
Aq48. 用图乘法求图示刚架A截面的转角?A及C处的铅垂位移
a/2aAClFAFlBllCa/2qa3解：?A?（逆时针）
48EI?C y =ΔCy?11qa4384EI(?)
B49. 求图示刚架的处的约束力。已知各杆弯曲刚度相同（略去剪力和轴力的影响）。 解：?C = ΔC?2(FCyl3/3?FCyl3?FCyl3?FCyl3/2)?0， EI3F得：FCy?
143F14再由平衡方程求得：FAy?FCy?
(?), FAx?F(?), MA?153
11Fl (逆时针) 1450. 四根材料、面积均相同的弹性杆，铰接于O点，另一端则分别支承在刚性铰接点A、B、C、D处，各杆的长度均为l。试用能量法求在图示载荷作用下各杆的内力。 解：设AO、BO、CO、DO各杆轴力分别为F1, F2, F3, F4
以F2和F4为未知量。
B45?45?A45?CD?Fx?0，F1?10?(F4?F2)/2
?Fy?0，F3?5?(F2?F4)/2 V??(F?F?F?F)l/(2EA)
21223242O10kN5kNF1?15/22kN，F4??5/22kN，F1?5kN，F3?5/2kN
q51. 用能量法求图示等截面梁中央横截面C的弯矩MC。 ql解：MC?
122AEIlClB52. 图示刚架各段杆的EI相同，受力如图。 (1)用能量法计算A、E两点的相对线位移?AE； (2)欲使A、E间无相对线位移，试求F1与F2的比值；
(3)试大致画出刚架在A、E间无相对线位移情况下的变形曲线。 5F2l3F1l3?解：(1) ?AE?（相对离开） 3EI8EIF40(2) 令?AE?0，1?
F23lAF2F2EF1Bl/2Cl/2D(3) 当?AE?0时，刚架变形如图示：
53. 图示平面刚架ABC的各杆均为直径等于d的圆截面杆，材料为低碳钢，已知弹性常数G?0.4E。试用能量法求F力作用点的铅垂位移wB。 (略去剪力的影响)
解：解除C点约束，得静定基ABC。 由位移协调条件：wC?0
FBllAzOCyxwC?2FCyl33EI?3Fl??0 3EIGIp(?)
3FCyl34F19Fl3可得：FCy? , wB?2369EI54. 欲测定图示梁端截面的转角?A，但只有测量挠度的仪器，怎样用改变加载方式的方法达到此目的？
解：利用功的互等定理，在A处施加一个数值等于F的力偶M，并测出这时C处的挠度wC，则此值即为欲测之力F作用下的?A。
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FA?AB55. 图示悬臂梁，由于条件的限制，测挠度的千分表只能安装在自由端A点之下，但加力装置允许在梁的任意位置是加载。现欲测载荷F作用在A点时的挠度值，则载荷F应加在????????处。
BFA解：根据位移互等定理，只需将载荷F移至B点，此时可测得A点的挠度，其值应与F作用在A点时引起B点的挠度相等。
56. 试用位移互等定理证明，图示悬臂梁在扭转力偶Me作用下，其横截面绕截面的弯曲中心A转动，即A点铅垂位移等于零。
解：设单位力F?1加在A处引起截面绕C点 的扭转角为?21，单位力偶M?1加在C处引起 A点的铅垂位移为?12。 根据位移互等定理： ?12??21，
而A是弯曲中心，所以 ?21?0， 故有 ?12?0
57. 在形状任意的弹性体上有两点A、B相距为d。该弹性体的弹性模量为E，泊松比为?。试求
(1)若在弹性体的表面有集度为q的均布压力作用，试求A、B两点间距离的变化。
(2)若在A、B两点作用一对大小相等、方向相反、作用在一条直线上的集中力F，试求该弹性体的体积变化。
解：(1) 在表面有集度为的均布压力q作用时，体内任一点均为三向受压，压应力均为 q
ABdMeACM=1AC????/E??(?/E??/E)?q(2??1)/E
A、B两点间距离的变化：?d??d?qd(1?2?)/E（缩短）
(2) 弹性体体积变化时，均布压力q作功，可用功的互等定理求体积的改变
Fqd(2??1)/E?q?V，可得：?V?Fd(2??1)/E
58. 一薄壁圆环，厚度为?，宽度为1，平均直径为D，受力如图。试根据互等定理求解变形后与受力前圆环所围面积的改变量。
解：设原系统(1)径向位移为w(s)，另一系统(2)受均布径向载荷q?1，其径向位移为?D/2，根据功的互等定理
FDF?F?(?D/2)?2??qds?w(s)
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系统(2)位移： ?D??D??D 因为q?1， /E?2D/(2?E )所以， ?A??w(s)ds?F??D?FD2/(2E?)
s59. 等截面简支梁AB上有一移动的集中载荷F，如图(a)。已知载荷F在截面C处时(图b)梁的挠度曲线方程为
)3/4w??Fx(15l2/16?x2)/(24EI) (0?x?ll/?4x?l )w??F[4(x?3l/4)3?15l2x/16?x3]/(24EI) (3试写出截面挠度wCF随载荷F的位置x变化的关系式。
AFl(a)Cl/4l(b)BwxxwAFxCl/4B解：根据功的互等定理：FwxF?FwCF 即 wxF?wC FwxF为载荷作用于截面C处时x处的挠度，wxF就是图(b)情形下的挠曲线方程。可见题给
挠度方程就是图(a)所示F移动时截面C挠度wCF与载荷位置x的关系式。 60. 曲杆受载如图，其弹性应变能为V?，则?V?/?M的 值表示?????????????????。 答：A、B两截面的相对转角
61. 图示刚架采用卡氏第二定理求位移，则?V?/?F代 表?????????????????。
答：A点水平位移和铅垂位移的代数和
62. 图示刚架各段弯曲刚度均为EI。不计轴力和剪力的影响。试用卡氏第二定理求B截面的转角。
解： 在B截面加一虚力偶M1（顺时针）
AB：M(x)?(F?M1/l)x ?M/?M1?x/l CB：M(x)??Fx ?M/?M1?0
llBCFAMABMAFF1?B?EI
xFl2? 0Fx?ldx?3EI （顺时针）
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