第12章 动能定理
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第12章 动能定理
一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)
1．圆轮纯滚动时，与地面接触点的法向约束力和滑动摩擦力均不做功。 ( √ ) 2．理想约束的约束反力做功之和恒等于零。 ( √ ) 3．由于质点系中的内力成对出现，所以内力的功的代数和恒等于零。 ( × ) 4．弹簧从原长压缩10cm和拉长10cm，弹簧力做功相等。 ( √ ) 5．质点系动能的变化与作用在质点系上的外力有关，与内力无关。 ( × ) 6．三个质量相同的质点，从距地相同的高度上，以相同的初速度，一个向上抛出，一个水平抛出，一个向下抛出，则三质点落地时的速度相等。 ( √ )
7．动能定理的方程是矢量式。 ( × ) 8．弹簧由其自然位置拉长10cm，再拉长10cm，在这两个过程中弹力做功相等。 ( × ) 二、填空题
1．当质点在铅垂平面内恰好转过一周时，其重力所做的功为 0 。 2．在理想约束的条件下，约束反力所做的功的代数和为零。
3．如图12.19所示，质量为m1的均质杆OA，一端铰接在质量为m2的均质圆轮的轮心，另一端放在水平面上，圆轮在地面上做纯滚动，若轮心的速度为vo，则系统的动能T? 1322。 m1v0?m2v0244．圆轮的一端连接弹簧，其刚度系数为k，另一端连接一重量为P的重物，如图12.20
1所示。初始时弹簧为自然长，当重物下降为h时，系统的总功W?Ph?kh2。
2 O O vO A k P h 图12.19 图12.20
5．如图12.21所示的曲柄连杆机构，滑块A与滑道BC之间的摩擦力是系统的内力，设已知摩擦力为F且等于常数，则曲柄转一周摩擦力的功为?4Fr。
6．平行四边形机构如图12.22所示，O1A?O2B?r，O1A//O2B，曲柄O1A以角速度?5转动。设各杆都是均质杆，质量均为m，则系统的动能T =mr2?2。
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理论力学
7．均质杆AB，长为l，质量为m，A端靠在墙上，B端以等速率v沿地面运动，如图
212.23所示。在图示瞬时，杆的动能为mv2。
9 r ? O A C A B ? O1 B O2
图12.21 图12.22
8．在图12.24中，均质摆杆OA，质量为m1?5kg，长l?1.2m；物块B的质量为m2?15kg，由杆OA通过套筒带动在水平面内运动。设图示瞬时，杆OA的角速度??1rad/s，h?0.9m，则杆OA的动能为 1.2J，滑块B的动能为6.075J。
A A
B ? 30? 60?
图12.23 图12.24
B h v O 三、选择题
1．若质点的动能保持不变，则 C 。
(A) 其动量必守恒 (C) 质点必做匀速运动
(B) 质点必做直线运动 (D) 质点必做变速运动
2．汽车靠发动机的内力做功， D 。
(A) 汽车肯定向前运动 (B) 汽车肯定不能向前运动 (C) 汽车动能肯定不变 (D) 汽车动能肯定变
3．如图12.25所示，半径为R、质量为m1的均质滑轮上，作用一常力矩M，吊升一质量为m2的重物，则重物上升高度h的过程中，力矩M的功W= A 。
(A) Mh R(B) m2gh
(C) Mh?m2gh R (D) 0
4．均质圆盘质量为m，半径为R，在水平面上作纯滚动，设某瞬时其质心速度为v0，则此时圆盘的动能是 B 。
(A)
12mv0 2(B)
32mv0 4(C)
32mv0 22(D) mv0
5．如图12.26所示，三棱柱B沿三棱柱A的斜面运动，三棱柱A沿光滑水平面向左运
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动。已知A的质量为m1，B的质量为m2；某瞬时A的速度为v1，B沿斜面的速度为v2。则此时三棱柱B的动能T = D 。
1 m2v22
21(C) m2(v12?v22)
2(A)
M 1m2(v1?v2)2 21(D) m2[(v1?v2cos?)2?v22sin2?]
2(B)
O R B A v1 v2 ? 图12.25 图12.26
6．如图12.27所示，两均质轮质量为m，半径均为R，用绕在两轮上的绳系在一起。设某瞬时两轮的角速度分别为?1和?2，则系统的动能T = D 。
(A)
1?1122?2?mR??1?m?R?2? 2?22? O R ?1 1?11?1??(B) ?mR2??12??mR2??22
2?22?2??(C)
1?111?122?22?2mR??mR????2??1?mR??2 2?222?2??1?111?122?22?2mR??mR??R????12??1?mR??2 2?222?2??R ?2 (D)
四、计算题
图12.27
12-1 摆锤质量为m，摆长为r0，如图12.28所示。求摆锤由点A至最低位置点B，以及由A点经过最低位置点B到点C的过程中摆锤重力所做的功。
解：根据重力做功的公式，摆锤由点A至最低位置点B，摆锤重力所做的功为 WAB?mg(r0cos??r0)?mgr0(1?cos?)
摆锤由A点经过最低位置点B到点C的过程中摆锤重力所做的功为
WAC?mg(r0cos??r0sin?)?mgr0(cos??sin?)
12-2 重量为2000N的刚体在已知力F?500N的作用下沿水平面滑动，力F与水平面
夹角??30?。如接触面间的动摩擦系数f?0.2，求刚体滑动距离s?30m时，作用于刚体各力所做的功及合力所做的总功。
解：计算滑动摩擦力
Fd?fFN?f(mg?Fsin?)?0.2?(2000?500sin30o)?350N
刚体滑动距离s?30m时，滑动摩擦力所做的功为
WFd??Fds??350?30??10500(J) 主动力F所做的功为
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理论力学
WF?Fscos30o?500?30cos30o?12990.4(J) 其它力不做功。 合力所做的总功为
W合?WF?WFd?2490.4(J)
12-3 弹簧原长为l0，刚度系数为k?1960N/m，一端固定，另一端与质点M相连，如图12.29所示。试分别计算下列各种情况时弹簧力所做的功。 (1) 质点由M1至M2；(2) 质点由M2至M3；(3) 质点由M3至M1。
A mg ? r0 ? C 2cm 2cm 3cm O l0 B M3 O M1 M2 x
图12.28 图12.29
解：根据弹力做功的公式，计算下列各种情况时弹簧力所做的功。 （1）质点由M1至M2，弹簧力所做的功为
119602 W12?k(?12??2)??(0.022?0.052)??2.06(J)
22（2）质点由M2至M3，弹簧力所做的功为
1196022W23?k(?2??3)??[0.052?(?0.02)2]?2.06(J)
22 （3）质点由M3至M1，弹簧力所做的功为
119602W31?k(?3??12)??[(?0.02)2?0.022]?0
2212-4 计算图示各物体的动能。已知物体均为均质，其质量为m，几何尺寸如图12.30所示。
O ? O ? R C R l R C ? O vC A (a) (b) (c) (d)
图12.30
解：（a）杆子作定轴转动，它的动能为
1111 T?JO?2??ml2?2?ml2?2
2236 （b）圆盘绕O点作定轴转动，它的动能为
1133 T?JO?2??mR2?2?mR2?2
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（c）圆盘绕O点作定轴转动，它的动能为
1111 T?JO?2??mR2?2?mR2?2
2224 （d）圆盘在水平面上作纯滚动，它的动能为
v121121132 T?mvC ?JC?2?mvC??mR2(C)2?mvC22222R412-5 如图12.31所示，与弹簧相连的滑块M，可沿固定的光滑圆环滑动，圆环和弹簧都在同一铅直平面内。已知滑块的重量W?100N，弹簧原长为l?15cm，弹簧刚度系数
求滑块M从位置A运动到位置B过程中，其上各力所做的功及合力的总功。 k?400N/m。
解：根据重力做功的公式，滑块M从位置A运动到位置B过程中，重力所做的功为 W重?Wh?100?0.1?10(J)
根据弹力做功的公式，滑块M从位置A运动到位置B过程中，弹力所做的功为
122 W弹?k(?A??B)
2而?A?0.32?0.12?0.15?0.1662m，?B?0.2?0.15?0.05m，代入上式，可得
140022 W弹?k(?A??B)?(0.16622?0.052)?5.03(J)
22合力的总功为
W合?W重?W弹?15.03(J)
12-6 长为l、质量为m的均质杆OA以球铰链O固定，并以等角速度ω绕铅直线转动，如图12.32所示。若杆OA与铅直线的夹角为?，试求杆的动能。
A O M O B 10cm x ? dx 20cm ? A x
图12.31 图12.32
解：将杆分成许多微段，先计算微段的动能
1mmmx2?2sin2?22 dT?dxv?dx(x?sin?)?dx
2l2l2l整个杆子的动能为
llmx2?2sin2?ml2?2sin2? T?dT? dx?002l612-7 摩擦阻力等于正压力与滑动摩擦系数的乘积。为测定动摩擦系数，把料车置于斜坡顶A处，让其无初速度地下滑，料车最后停止在C处，如图12.33所示。已知h、s1、s2，试求料车运行时的动摩擦系数f。
??解：料车在坡顶A处无初速度地下滑最后停止在C处，在该过程中重力和摩擦力均要
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