·148·
理论力学
做功，由动能定理，可知它们做功的和等于零。 料车在坡顶A处下滑到C处，重力所做的功为 W重?Wh
式中W为料车的重力。而料车在坡顶A处下滑到C处，摩擦力所做的功为
2?h2?fWs2 W摩??fWcos?s1而cos?s12?h2?s1，即摩擦力所做的功为
W摩??fWs1?fWs2
由动能定理可知，合力的功为零，即
W合?W重?W摩?Wh?fW(s1?s2)?0 解得
h s1?s212-8 如图12.34所示，一不变力偶矩M作用在绞车的均质鼓轮上，轮的半径为r，质量为m1。绕在鼓轮上绳索的另一端系一质量为m2的重物，此重物沿倾角为?的斜面上升。设初始系统静止，斜面与重物间的摩擦系数为f。试求绞车转过?后的角速度。
f? A m1g m2g h v Fd A M Fx F y? s1 B C B ? s2 ? FN
图12.33 图12.34
解：选系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。绞车转过?，重物向上滑动s?r?的距离。在此过程中，作用在鼓轮上的力偶矩M所做的功为WM?M?，滑动摩擦力所做的功为WFd??Fds??fm2gr?cos?，重物重力所做的功为W重??fm2gr?sin?，而其它的力均不做功。故绞车转过?后，系统所受的全部力做功的和为
?W?M??mgr?(fcos??sin?)
i2初始系统静止，系统的动能T1?0。设绞车转过?后的角速度为?，则重物沿斜面上升的速度为r?，此时系统的动能为
T2??m1r2?2?m2r2?2?(m1?2m2)r2?2 由动能定理T2?T1?12121214?W，有
i
1(m1?2m2)r2?2?M??m2gr?(fcos??sin?) 42M??m2gr?(fcos??sin?)
r(m1?2m2)解得绞车转过?后的角速度为 ??·148 ·
第12章 动能定理
·149·
12-9 两均质杆AC和BC各重为P，长为l，在点C由铰链相连，放在光滑的水平面上，如图12.35所示。由于A和B端的滑动，杆系在铅垂平面内落下。设点C初始时的高度为h，开始时杆系静止，试求铰链C落地时的速度大小。
C h A FNA P P A C B B FNB ?AC vC ?BC
图12.35
解：选系统为研究对象，受力分析如图所示。设点C由高度h下落到地面时的速度为v，而此时A和B两点的速度均为零。即C落到地面时，杆AC和BC的速度瞬心分别为A和B两点。杆AC和BC的角速度为
v?AC??BC?
l由于开始时杆系是静止的，即系统初始时的动能T1?0，铰链C落到地面时，系统的动能为
11P222 T2?JA?AC?JB?BC?v
223g点C由高度h下落到地面时，系统所受的全部力做功为
h Wi?2?P??Ph
2由动能定理T2?T1?Wi，有
?? 解得铰链C落地时的速度
P2v?Ph 3g v?3gh
12-10 两均质杆AB和BO用铰链B相连，杆的A端放在光滑的水平面上，杆的O端为固定铰支座，如图12.36所示。已知两杆的质量均为m，长均为l，在杆AB上作用一不变的力偶矩M，杆系从图示位置由静止开始运动。试求当杆的A端碰到铰支座O时，杆A端的速度。
·149·
·150·
P B mg mg 理论力学
P ?AB B vB ?AB B vB ? ? A vA FNA M O FOx FOy ? ? A vA O A O vA
图12.36
解：选系统为研究对象，受力分析如图所示。运动过程中，杆OB绕定轴转动，杆AB作平面运动。由点A、B的速度方向，可知杆AB的速度瞬心如图所示。点B的速度为
vB??ABPB??OBOB 由于PB?OB?l，所以?AB??OB??。当杆的A端碰到铰支座O时，P、B 、A三点共线。点A的速度为
vA??ABPA?2l? 初始时杆系是静止的，即系统初始时的动能T1?0。杆的A端碰到铰支座O时，系统的动能为
1122 T2?JP?AB ?JO?OB22113114?[ml2?m?(l)2]?2?(ml2)?2?ml2?2 2122233杆的A端碰到铰支座O时，系统所受的全部力做功为
ll Wi?M??2mg(?cos?)?M??mgl(1?cos?)
22由动能定理T2?T1?Wi，有
?? 解得两杆转动的角速度为
422ml??M??mgl(1?cos?) 313[M??mgl(1?cos?)]
2lm解得杆的A端碰到铰支座O时，杆A端的速度
?? vA?2l??3[M??mgl(1?cos?)]
m12-11 如图12.37所示曲柄连杆机构位于水平面内。曲柄重为W1，长为r，连杆重为W2，长为l，滑块重为W3，曲柄及连杆均可视为均质细长杆。今在曲柄上作用一不变转矩M，当∠AOB = 90?时，A点的速度为v，求当曲柄转至水平向右位置时A点的速度。
·150 ·
第12章 动能定理
A M O ·151·
v B W1 FOx FOy W2 W3 B vB FNB O A vB ?OA vA ?AB
图12.37
解：选整个系统为研究对象，受力及运动分析如图所示。在运动的初始时刻，曲柄作定轴转动，连杆作瞬时平动，滑块作平动。当曲柄转至水平向右位置时，由vA及vB方向，根据速度投影定理可知vB?0，即B点为连杆的速度瞬心。通过上面分析，我们可以先计算两位置系统的动能：
1v1W221W32W1?3W2?3W32 T1?JO()2?v?v?v
2r2g2g6gvvW?W2211 T2?JO(A)2?JB(A)2?1vA
2r2l6g在曲柄由∠AOB = 90?位置转至水平向右位置的过程中，各力做功之和为 由动能定理T2?T1??Wi?M??2
?W，有
i 解得A点的速度为
W1?W22W1?3W2?3W32?vA?v?M? 6g6g23M?g?(W1?3W2?3W3)v2 vA?
W1?W212-12 带式输送机如图12.38所示，物体A重量为W1，带轮B、C的重量均为W，半径为R，视为均质圆盘，轮B由电动机驱动，其上受不变转矩M作用。系统由静止开始运动，不计传送带的质量，求重物A沿斜面上升距离为s时的速度和加速度。
A W1 W C FCx A vA C ?C W M B FBx FCy ? FBy B ?B ?
图12.38
解：选系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。重物A沿斜面上升距离为s
s时，带轮B、C转过的角为??。此过程中，各力做功的代数和为
R
·151·
·152·
理论力学
M?W1sin?)s R初始时系统是静止的，即系统初始时的动能T1?0。重物A沿斜面上升距离为s时，
?Wi?M??W1ssin??(假设重物A的速度为vA，则系统的动能可表示为
1W1211W?W222 T2?vA?JB?B?JC?C?1vA
2g222g由动能定理T2?T1??W，有
iW1?W2MvA?(?W1sin?)s （1） 2gR解得重物A沿斜面上升距离为s时的速度为 vA?2gs(M/R?W1sin?)
W1?W如果对（1）式两边同时对时间求导数，可得重物A沿斜面上升距离为s时的加速度为
M/R?W1sin? aA?g
W1?W12-13 如图12.39所示两个相同的均质滑轮，半径均为R，重量均为W，用绳缠绕连接。如动滑轮由静止落下，带动定滑轮转动，求动滑轮质心C的速度vC与下落距离h的关系并求点C的加速度aC。
?O FOx O ?O W A FOx O W FOy A ?C FOy B C FAB FBA B C ?C W aC W vC h vB aB
图12.39
解：分别选整体和两滑轮为研究对象，受力和运动分析如图所示。设动滑轮由静止落下距离h时，动滑轮质心C的速度为vC，此时两轮的角速度分别为?O和?C，角加速度分别为?O和?C。
（1）对于均质滑轮O应用定轴转动微分方程，有
1W2 JO?O?R?O?R?FAB
2g对于均质滑轮C，根据平面运动微分方程，有
1W2 JC?C?R?C?R?FBA
2gW aC?W?FBA
g选绳索为动系，对均质滑轮质心C应用点的复合运动加速度合成定理有 aC?R?O?R?C
·152 ·