华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2008—2009学年第一学期 考试科目：概率论与数理统计
考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业 题号 得分 评阅人 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 一、填空题（每题3分，共18分）
1.甲、乙、丙三人在同一时间内分别破译某个密码，设甲、乙、丙三人能单独译出的概率分别为0.8，0.7和0.6，则密码能被译出的概率为0.976。 分析：A={甲破译出密码}，B={乙破译出密码}， C={丙破译出密码}， 则P{密码被译出}=P(A?B?C)?1?P(A?B?C)
=1?P(A?B?C)?1?0.2?0.3?0.4?0.976。
2. 设P(A)?0.8,P(A?B)?0.5且A与B独立，则P(B)?__0.375_____。 分析：P(A?B)?P(A)?P(AB)，由于A与B独立，
即0.5?0.8?0.8?P(B)，解得P（B）=0.375。
3. 设随机变量X服从参数??2的泊松分布，则P(X?1)= 1?e?2。 分析：由课本P84表，泊松分布律为P{X?k}?20?KK!e??,(k?0,1,?)，
所以P(X?1)=1?P{X?0}?1?0!e?2?1?e.
?2Y相互独立，4. 设随机变量X、且D(X)?1，则D3D(Y)?2，(X2?Y)n?__17___。
5.X1,X2,?,Xn是来自总体
n??X的样本，若统计量??aX是总体均值EX的无
iii?1偏估计量，则?ai?___1______。
i?1 - 1 -
?是EX的无偏估计量，所以E(??)?E(X)， 分析：因为??)?E(即E(??aiXi)?i?1nnniiniin?aE(Xi?1)??aE(X)?E(X)?ai?1i?1?E(X)??ai?1i?1。
注意：简单随机样本的特点，子样X1,X2,?,Xn与总体X有相同的概率分布，从而有E(X1)???E(Xn)?E(X)，D(X1)???D(Xn)?D(X)。
6. 设X1,X2,?,X17是总体N(?,4)的样本，S2是样本方差，若P(S2?a)?0.01， 则a?___8_________. 2222 （注：?0.01(17)?33.4,?0.005(17)?35.7,?0.01(16)?32.0,?0.005(16)?34.3） 分析：P(S?a)?P(2(17?1)S42?(17?1)42a)?P(?(16)?4a)?0.01，
2?4a??20.01(16)?32.0?a?8。
注意：掌握常见统计量的分布
(n?1)S?2??(n?1)。
2
二、选择题（每题3分，共18分）
1. 对于任意两事件A和B，与A?B?B不等价的是 （ D ） (A) A?B (B) B?A (C) AB?? (D) AB??
2. 设随机变量X的概率密度为fX(x)，Y??2X?3，则Y的概率密度为（ ） (A) ? (C) ?1212fX(?fX(?y?32y?32) )
(B) (D)
1212fX(?fX(?y?32y?32)
)
分析：函数y??2x?3严格单调?x?fY(y)?fX(3?y2)?(3?y2)??12fX(3?y23?y2，再由课本P46的公式（2.30）有，
)。
3. 设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为?(x)，则P(|X|?2)的值为（ A ）
（A）2[1??(2)]. （B）2?(2)?1.
（C）2??(2). （D）1?2?(2).
分析：P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2) ?1?[?(2)??(?2)]?1??(2)?[1??(2)]?2?2?(2)。
4.设总体均值为?，方差为?2，n为样本容量，下式中错误的是（ D ） (A) E(X??)?0 (B) D(X??)??2n
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(C) E(S2?)?1 (D) 2X???/n?N(0,1)
分析：由P104 第一小节，仅当总体服从正态分布N(?,?2)，才有选项（D）成立，故（D）错。
注意：总体X?N(?,?)?样本均值X?N(?,2?2n),即E(X)??,D(X)??2n.
5. 下列统计量中哪个是回归统计检验的统计量（ D ）
(A) u?2 (B) t?2 (C) F?(r?1,n?r) (D) F?(1,n?2) 分析：见课本P206，表9-2
6. 设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0,32)，设X1,X2,?,X9和
Y1,Y2,?,Y9U?分别是来自两个总体的简单随机样本,则统计量
服从的分布是 （ A ）
X1?X2??X9(Y1?Y??Y)22229（A）t(9) （B） t(8 ) （C）N(0,81) （D）N(0,9) 分析：掌握t分布的构成，X(服从标准正态分布N（0,1）)Y(服从?（n）分布)n2?t(n).
三、（5分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次
数，求X的分布列、数学期望和方差.
解：X的可能取值为0,1,2,3，且P(X?k)?C3k()k()3?k，因此X的分布律为
5522XP02712515412523612538125 25351825 从而
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EX?3?25?65，
DX?3???。
四、（10分）某保险公司的调查表明，新保险的汽车司机中可划为两类：第一类人易出事故，在一年内出事故的概率为0.05，第二类人为谨慎的人，在一年内出事故的概率为0.01. 假设第一类人占新保险司机的30%，现从新入保险的汽车司机中任抽取一人，求（1）此人一年内出事故的概率是多大？（2）如果此人出了事故，此人来自第一类人的概率多大？ 分析：问题中的事件关系如下
第一类人第二类人此人出事故，故此人出事故概率用全概率公式求。
解 ： 设B＝{此人出事故}，
A1，A2分别表示此人来自第一类人和第二类人， （1）由全概率公式有
P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?0.3?0.05?0.7?0.01?0.022
（2）由贝叶斯公式有
P(A1B)?P(A1)P(BA1)P(B)?0.3?0.050.022?1522?0.682.
答：从两类人中任意抽取一人，此人一年内出事故的概率为0.022； 若已知此人出事故，此人来自第一类人的概率约为0.682.
五、（10分）设随机变量X的概率密度为
?ax?1,f(x)??,?00?x?2其他
求（1）常数a； （2）X的分布函数F(x)； （3）P(1?X?3) 解：（1）1??????f(x)dx??20(ax?1)dx?(a2x?x)220?2a?2 ?a??12
（2）X的分布函数为
?0,?xt?f(t)dt???(1?)dt,02???1,x?0,0?x?2,x?2.?0,?2x???x?,4??1,?x?0,0?x?2, x?2.F(x)??x??
(3)P(1?x?3)??31f(x)dx??21(1?x2)dx?14
说明：该题和09年五-1是同类型题。
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六、（14分）设(X,Y)在由直线x?1,x?e2,y?0及曲线y?上服从均匀分布，
（1）求边缘密度fX(x)和fY(y)，并说明X与Y是否独立.
（2）求P(X?Y?2). 解：区域D的面积SD?y 1x所围成的区域
?e121xdx?lnx1?2
e2?1?, (X,Y)的概率密度为f(x,y)??2?0,?(x,y)?D,其它.
y=1/x ……………2分
x 0 1 e2 ?1?112??,??xdy,1?x?e,?0 （1）fX(x)??f(x,y)dy????2x2???0,?0,其它.??D 1?x?e,其它.2
……………2分
?e1??12dx,?11?f(x,y)dx???ydx,12????0,20?y?e,e?2?2fY(y)???????y?1,其它?12?2(e??1???2y????0?1),12,0?y?ee?2?2?y?1
,其它 ……………4分 （2）因f(x,y)?fX(x)?fY(y)，所以X,Y不独立. ……………2分 （3）P(X?Y?2)?1?P(X?Y?2)?1???x?y?2f(x,y)dxdy
?
?21dx?2?x012dy?1?12?11?1?243?40?.75 ……………4分
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