习题一
1. 设A?{x0?x?1},B{x0?x?2},求A?B,A?B,B\\A. 解:
A?B?{x0?x?1}?{x0?x?2}?{x0?x?1}?AA?B?{x0?x?1}?{x0?x?2}?{x0?x?2}?B B\\A?{x0?x?2}\\{x0?x?1}?{x1?x?2}?{0}2. 设X?{1,2,3,4,5,6},A?{1,2,3},B?{2,4,6},C?{1,3,5},求A?B?C,A?B?C, CXA，CXA∪CXB, CXA∩CXB.
解: A?B?C?{1,2,3}?{2,4,6}?{1,3,5}?X
A?B?C?{1,2,3}?{2,4,6}?{1,3,5}??
CXA=X\\A={1,2,3,4,5,6}\\{1,2,3}={4,5,6} CXB=X\\B={1,2,3,4,5,6}\\{2,4,6}={1,3,5}=C CXA∪CXB={4,5,6}∪{1,3,5}={1,3,4,5,6} CXA∩CXB={4,5,6}∩{1,3,5}={5}.
3. 判定下列命题是否正确?若不正确,请举出反例. (1)若A∪B=A∪C,则B=C; (2)若A∩B=A∩C,则B=C. 解: (1)不正确. 例如: A={1},B={1,2,3},C={2,3}有A∪B=A∪C={1,2,3},但B≠C. (2)不正确. 例如: A={1,2},B={1},C={1,3}有A∩B=A∩C={1},但B≠C. 4. 判定下列映射哪些是满射,哪些是单射,哪些是一一映射? (1) A=(-∞,+∞),B=(-∞,+∞),f:x?A|?y?x3?B; (2) A=(-∞,+∞),B=[-1,1],f:x?A|?y?sinx?B; (3) A=(-∞,+∞),B=[0,+∞],f:x?A|?y?e?B.
解: (1) ??x1,x2?A且x1?x2,有x1?x2,即A中不同的元素的有不同的像,∴f是单射. 又?y?B,有3y?A,使3y|?y,即B中每个元素都有原像, ∴f是满射.
综上所述, f是一一映射.
33x 1
(2)??y?[?1,1],有arcsiny?A,使arcsiny|?y,即B中每个元素都有原像,∴f为满射.但,当x1,x2?A,且x1?x2,如x1?ππ,x2??2kπ,k为整数时,有sinx1?sinx2,即A中66不同的元素x1,x2有相同的像,∴f不是单射.
综上所述, f为满射,但不是单射.
(3)??x1,x2?A, 且x1?x2,有e1?e2,即A中不同的元素有不同的像,∴f是单射. 又?0?B,?x?A,ex?0,即B中的元素0没有原像,∴f不是满射. 综上所述, f是单射.,但不是满射.
5. 下列函数是否相等,为什么?
xx(1)f(x)?x2,g(x)?x; (2)y?sin2(3x?1),u?sin2(3t?1); x2?1(3)f(x)?,g(x)?x?1.x?1解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由x2?x知两函数的对应法则也相同;所以
两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数f(x)的定义域是{xx?R,x?1},而函数g(x)的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 6. 求下列函数的定义域
11(1)y?4?x?arctan; (2)y?x?3?;xlg(1?x)
x(3)y?2; (4)y?arccos(2sinx).x?1解: (1)要使函数有意义,必须
?4?x?0 即 ??x?0所以函数的定义域是(??,0)?(0,4].
(2)要使函数有意义,必须
?x?4 ??x?0?x?3?0??lg(1?x)?0 即 ?1?x?0?
?x??3??x?0 ?x?1?2
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
x2?1?0 即 x??1
所以函数的定义域是(??,?1)?(?1,1)?(1,??).
(4)要使函数有意义,必须
?1?2sinx?1 即 ?即?11?sinx? 22ππ5π7π?2kπ?x??2kπ或?2kπ?x??2kπ,(k为整数). 6666ππ也即??kπ?x??kπ (k为整数).
66ππ所以函数的定义域是[??kπ,?kπ], k为整数.
66?1?sin,x?07. 求函数y??的定义域与值域. x?x?0?0,解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当x?0时,时,sin1可以是不为零的任意实数,此x1可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. x1?x18. 没f(x)?,求f(0),f(?x),f().
1?xx11?1?01?(?x)1?x1x?x?1. ?1,f(?x)??,f()?解: f(0)?1?01?(?x)1?xx1?1x?1x9.设f(x)???1?x?0?1,,求f(x?1).
?x?1,0?x?2?1?x?1?0?1,0?x?1?1,解: f(x?1)????.
(x?1)?1,0?x?1?2x,1?x?3??x10. 设f(x)?2,g(x)?xlnx,求f(g(x)),g(f(x)),f(f(x))和g(g(x)).
g(x)解: f(g(x))?2?2xlnx,
g(f(x))?f(x)lnf(x)?2x?ln2x?(xln2)?2x,
f(f(x))?2f(x)?2,2xg(g(x))?g(x)lng(x)?xlnxln(xlnx).
3
11. 证明:f(x)?2x3?1和g(x)?3x?1互为反函数. 2证:由y?2x3?1解得x?3y?1, 23故函数f(x)?2x3?1的反函数是y?x?1(x?R),这与g(x)?23x?1是同一个函2数,所以f(x)?2x3?1和g(x)?3x?1互为反函数. 212. 求下列函数的反函数及其定义域:
1?x; (2)y?ln(x?2)?1; 1?x(3)y?32x?5; (4)y?1?cos3x,x?[0,π].(1)y?解: (1)由y?1?x1?y解得x?, 1?x1?y所以函数y?1?x1?x(x??1). 的反函数为y?1?x1?xy?1(2)由y?ln(x?2)?1得x?e?2,
x?1所以,函数y?ln(x?2)?1的反函数为y?e(3)由y?32x?5?2 (x?R).
1(log3y?5) 212x?5所以,函数y?3的反函数为y?(log3x?5) (x?0).
2解得x?(4)由y?1?cosx得cosx?33y?1,又x?[0,π],故x?arccos3y?1. 3又由?1?cosx?1得0?1?cosx?2,
3即0?y?2,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数y?1?cosx,x?[0,π]的反函
数为y?arccos3x?1 (0?x?2). 13. 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)?1?x?1?x; (2)y?e2x?e?2x?sinx.
解: (1)?f(?x)?1?(?x)?1?(?x)?1?x?1?x?f(x)
?f(x)?1?x?1?x是偶函数.
4
(2)?f(?x)?e?2x?e2x?sin(?x)?e?2x?e2x?sinx??(e2x?e?2x?sinx)??f(x)
?函数y?e2x?e?2x?sinx是奇函数.
14. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:
(1)y?x; (2)y?x?lnx 1?x2xxx1x?0?0??, ,当时,有
1?x21?x22x2解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当x?0时,有故?x?(??,??),有y?又因为函数y?1x.即函数y?有上界. 221?xx为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函1?x2x数必有下界,因而函数y?有界.
1?x2又由y1?y2?x1x2(x1?x2)(1?x1x2)知,当x1?x2且x1x2?1时,y1?y2,而 ??221?x121?x2(1?x12)(1?x2)当x1?x2且x1x2?1时,y1?y2. 故函数y?x在定义域内不单调. 1?x2(2)函数的定义域为(0,+∞),
??M?0,?x1?0且x1?M;?x2?eM?0,使lnx2?M.
取x0?max{x1,x2},则有x0?lnx0?x1?lnx2?2M?M, 所以函数y?x?lnx在定义域内是无界的. 又当0?x1?x2时,有x1?x2?0,lnx1?lnx2?0
故y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?(lnx1?lnx2)?0. 即当0?x1?x2时,恒有y1?y2,所以函数y?x?lnx在(0,??)内单调递增. 15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?
124(1)y?(1?x); (2)y?sin2(1?2x);(3)y?(1?10?x12451); (4)y?.1?arcsin2x14212
解: (1)y?(1?x)是由y?u,u?1?x复合而成.
(2)y?sin(1?2x)是由y?u,u?sinv,v?1?2x复合而成.
22 5