图形如下：
图1-5
37. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：
x2?1(1)y?2,x?1,x?2;x?3x?2xπ(2)y?,x?kπ,x?kπ?,k?0,?1,?2,?;
tanx21(3)y?cos2,x?0;x?x?1,x?1,(4)y?? x?1.
3?x,x?1,?x2?1(x?1)(x?1)解：(1)?lim2?lim??2
x?1x?3x?2x?1(x?1)(x?2)x2?1lim2?? x?2x?3x?2?x?1是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义f(1)??2，则函
数在x=1处连续；x=2是无穷间断点.
(2)?limxx?1, lim?0
πtanxx?0tanxx?kπ?2x??.
x?kπtanxππ?x?0,x?kπ?,k?0,?1,?2,?为可去间断点，分别补充定义f(0)=1,f(kπ?)?0，
22π可使函数在x=0,及x??kπ处连续.(k?0,?1,?2,?);
2当k?0时，limx?kπ,k?0,k??1,?2,?为无穷间断点
(3)∵当x?0时，cos1呈振荡无极限， 2x26
∴x=0是函数的振荡间断点.(第二类间断点).
y?lim(3?x)?2. (4)?lim??x?1x?1x?1?limy?lim(x?1)?0 ?x?1∴x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)
38. 当x=0时，下列函数无定义，试定义f(0)的值，使其在x=0处连续:
1?x?1tan2x; (2)f(x)?;3x1?x?1
11(3)f(x)?sinxsin; (4)f(x)?(1?x)x.x(1)f(x)?3(1?x)2?31?x?131?x?1解：(1)?limf(x)?lim?lim?
x?0x?031?x?1x?021?x?13,可使函数在x=0处连续. 2tan2x2x(2)?limf(x)?lim?lim?2.
x?0x?0x?0xx∴补充定义f(0)?∴补充定义f(0)?2,可使函数在x=0处连续.
(3)?limsinxsinx?01?0 x∴补充定义f(0)?0,可使函数在x=0处连续.
(4)?limf(x)?lim(1?x)?e
x?0x?01x∴补充定义f(0)?e,可使函数在x=0处连续. 39. 怎样选取a, b的值，使f(x)在(－∞,+∞)上连续？
π?ax?1,x?,??ex,x?0,?2(1)f(x)?? (2)f(x)??
πa?x,x?0;??sinx?b,x?.??2f(x)?lim?(a?x)?a, 解：(1)?f(x)在(??,0),(0,??)上显然连续，而lim?x?0x?0x?0xlimf(x)?lime?1, 且f(0)?a, ??x?0∴当f?(0)?f?(0)?f(0)，即a?1时，f(x)在x?0处连续，所以，当a?1时，f(x)在
(??,??)上连续.
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(2)?f(x)在(??,),(,??)内显然连续.而
π2π2π2π2lim?f(x)?lim?(sinx?b)?1?b,x?x?lim?f(x)?lim?(ax?1)?x?π2x?π2πa?1, 2πf()?1?b,2πππ∴当1?b?a?1，即b?a时，f(x)在x?处连续，因而f(x)在(??,??)上连续.
22240. 试证：方程x?2?1至少有一个小于1的正根.
证：令f(x)?x?2x?1，则f(x)在[0,1]上连续，且f(0)??1?0,f(1)?1?0,由零点定理，
x???(0,1)使f(?)?0即??2??1?0
即方程x?2?1有一个小于1的正根.
41. 试证：方程x?asinx?b至少有一个不超过a?b的正根，其中a?0,b?0. 证：令f(x)?x?asinx?b，则f(x)在[0,a?b]上连续， 且 f(0)??b?0,f(a?b)?a(1?sinx)?0, 若f(a?b)?0，则a?b就是方程x?asinx?b的根. 若f(a?b)?0，则由零点定理得.
x???(0,a?b),使f(?)?0即??asin??b?0即??asin??b，即?是方程x?asinx?b的根，综上所述，方程x?asinx?b至少有一个不超过a?b的正根.
42. 设f(x)在[0,2a]上连续，且f(0)?f(2a),证明：方程f(x)?f(x?a)在[0，a]内至少有一根.
证：令F(x)?f(x)?f(x?a),由f(x)在[0,2a]上连续知，F(x)在[0,a]上连续，且
F(0)?f(0)?f(a),
F(a)?f(a)?f(2a)?f(a)?f(0)若f(0)?f(a)?f(2a),则x?0,x?a都是方程f(x)?f(x?a)的根，
若f(0)?f(a)，则F(0)F(a)?0，由零点定理知，至少???(0,a),使F(?)?0,
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即f(?)?f(??a)，即?是方程f(x)?f(x?a)的根，
综上所述，方程f(x)?f(x?a)在[0,a]内至少有一根.
43.设f(x)在[0,1]上连续，且0?f(x)?1，证明：至少存在一点??[0,1]，使f(?)??. 证：令F(x)?f(x)?x,则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)?f(0)?0,F(1)?f(1)?1?0, 若f(0)?0，则??0,若f(1)?1,则??1,若f(0)?0,f(1)?1,则F(0)?F(1)?0,由零点定理，至少存在一点??(0,1),使F(?)?0即f(?)??.
综上所述，至少存在一点??[0,1]，使f(?)??.
44. 若f(x)在[a,b]上连续，a?x1?x2???xn?b,证明:在[x1,xn]中必有?，使
f(?)?f(x1)?f(x2)???f(xn).
n证: 由题设知f(x)在[x1,xn]上连续，则f(x)在[x1,xn]上有最大值M和最小值m，于是
m?f(x1)?f(x2)???f(xn)?M,
n由介值定理知，必有??[x1,xn]，使
f(?)?f(x1)?f(x2)???f(xn).
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