．．．．．．．．．．．．．．12分 AEM.．
20. 解：（I）∵数列{an?an?1}是公比为q的等比数列，∴an?1an?2?anan?1q，
an?2an?3?anan?1q，由anan?1?an?1an?2?an?2an?3得anan?1?anan?1q?anan?1q22，解得?1?q?q，即q?q?1?0（q?0）
220?q?1?25．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（II）由数列{an?an?1}是公比为q的等比数列，得，
an?1an?2anan?1?q?an?2an?q，这表明
数列{an}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是．．．．．．．．．．．．．．8分 q，
又a1?1，a2?2，∴当q?1时，S2n?a1?a2?a3?a4???a2n?1?a2n
?(a1?a3???a2n?1)?(a2?a4?a6???a2n)?a1(1?q)1?qn?a2(1?q)1?qn?3(1?q)1?qn，．
．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 当q?1时，
S2n?a1?a2?a3?a4???a2n?1?a2n?(a1?a3???a2n?1)?(a2?a4?a6???a2n)．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ?(1?1?1???1)?(2?2?2???2)?3n．21.解：（1）因为函数图象的一条对称轴方程是x?f(?6，所以对任意的实数x都有
3b，于是椭圆C的离
?6?x)?f(?6?x)，取x??6得，f(0)?f(?3)，整理得a?心率e?ca?63，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分
222由a?3b知，椭圆C的方程可化为x?3y?3b， ①
又椭圆C的右焦点F为(2b,0)，直线AB的方程为y?x?2b， ②
22②代入①展开整理得：4x?62bx?3b?0， ③
设A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB的中点N(x0,y0)，则x1,x2是方程③的两个不等的实数根，由韦达定理得， ?32x?x?b ?2?12?
?x?x?3b212? 6 ?4
y0?x0?2b??24b，于是直线ON的斜率kON?y0x0??13。
此问用点差法也可．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
????????（2）OA与OB是平面内的两个不共线的向量，由平面向量坐标运算知
．．．．．．．．．．．．．．．．．．10(x,y)??(x1,y1)??(x2,y2)，?x??x1??x2,y??y1??y2，分
又M?C，代入①式得：
(?x1??x2)?3(?y1??y2)?3b，展开整理得：
222222．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ?(x1?3y1)??(x2?3y2)?2??(x1x2?3y1y2)?3b，
222
又因为x1x2?3y1y2??4x1x2?3?3b2x1x?3(2x)?6b22x?12)b(x?22 b)2b(x?1?6b2?9b2?，0
．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22222又A、B两点在椭圆上，故有x2?3y1?3b，x2?3y2?3b代入⑤式化简得： 1???22．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 ?1．
1x22. 解：(Ⅰ)?f?(x)?，?f?(1)?1.
∴直线l的斜率为1，且与函数f(x)的图象的切点坐标为(1,0). ∴直线l的方程为y?x?1. ???????? 2分
?y?x?1?又∵直线l与函数y?g(x)的图象相切,∴方程组?127有一解.
?y?x?mx??22由上述方程消去y，并整理得x?2(m?1)x?9?0 ①
依题意，方程①有两个相等的实数根，????2(m?1)??4?9?0解之， 得m?4或m??2,?m?0 ?m??2 . ???????? 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知g(x)?
12x?2x?22272，
?g?(x)?x?2?h(x)?ln(x?1)?x?2(x??1)
7
?h?(x)?1x?1?1??xx?1 . ???????? 7分
∴当x?(?1,0)时，h?(x)?0，h(x)单增，当x?(0,??)时，h?(x)?0，h(x)单减. ∴当x?0时，h(x)取最大值，其最大值为2. ????? 10分
(Ⅲ) f(a?b)?f(2a)?ln(a?b)?ln2a?lna?b?ln(1?b?a). ??? 12分 2a2a?0?b?a， ??a?b?a?0 ， ??12?b?a2a?0. 证明：当x?(?1,0)时，ln(1?x)?x，?ln(1?b?a2a)?b?a2a.
∴f(a?b)?f(2a)?b?a2a . ??? 14分
8