?1??1??1???1?????????111?7[α,β]71?. 取β1?α1???,β2?α2?21β1?????????0??0?6?0?6?6?[β1,β1]????????2224?????????1???11?1?1单位化得规范正交基ε1?β1?,ε2?β2???0β1β62???2???1???1??7?. ??6102??4???x1?x2?2x3?x4?015.求齐次线性方程组?的解空间的一组规范正交基.
?x1?3x3?5x4?0解 由系数矩阵A???1?1?1 0 2?31??1???5??0?112?51??1???4??001?3?55??得解空间的一4??3???5??3???5??3???2?????????????5?45?451?35?.正交化β???,β?????????. 组基ξ1???,ξ2??12?1??0??1??0?35?1??1?????????????010101?????????????3???2?????1?5?1?1?. ,ε2?????35171????01????单位化得规范正交基ε1?16.设A,B都是n阶正交矩阵,证明
?A?0T(1)AT是正交矩阵;(2) A?1是正交矩阵;(3) AB是正交矩阵;(4) ?证 (1)由ATA?AAT?E,得AT0??是正交矩阵. B??AT?2T??AT?TAT?E,所以A为正交矩阵.
(2)由ATA?E得ATA?1,所以AA?1?1,A??1?0,即A可逆,又
?1?A??1T?A?1?A?T?1??AA?T?1?ET?E,所以A?1是正交矩阵.
(3) ?AB?AB?BAAB?BEB?BB?E,所以AB是正交矩阵.
TTTT?A(4) ??00??A??B??0T0??AT???B??00??AT??B??00??ATA???B??00??E???TBB??00???E, E?所以??A?00??是正交矩阵. B?17.设ξ是n维非零列向量,试证明E?2ξξTTξξ是对称的正交矩阵.
证 注意ξξT是n阶方阵, ξTξ是正实数. ?ξξ?因为?E?2T??ET?2ξξ??TT?ξξT?TξξT?E?2ξξTTξξ,所以E?2ξξTTξξ是对称矩阵.
又因为
TTT?ξξ??ξξ??ξξ??E?2T??E?2T???E?2T?ξξ??ξξ??ξξ??T2?E?42EξξTTξξ?4ξξξξTT2?ξξ?T?E?4ξξTTξξ?4ξξTT2?ξξ??E,
所以E?2ξξTTξξ也是正交矩阵.
18.设A是n阶正交矩阵,证明:对任意列向量α?Rn都有Aα?α. ?a11?a21证 设A??????an1a12a22?an2???a1n??x1????a2nx?,α??2?,则
????????ann??xn?????? ??????2?n??a1kxkk?1?a11x1?a12x2???a1nxn?????na21x1?a22x2???a2nxn????a2kxk由Aα?????????k?1?????an1x1?an2x2???annxn??n???ankxk?k?122得Aα??n??n??n?ax?ax??ax??1kk???2kk???nkk? ?k?1??k?1??k?1???n2?2?n2??ak1?x1???ak2?k?1??k?1222?2?n2?x2?????akn??k?1?2?xn ??x1?x2???xn?α.
习题B
1. 判断下述集合对于所指的运算是否构成实数域R上的线性空间.
(1) 所有正实数的集合R?,加法” ?” 和数量乘法”?”分别规定为
a?b?ab,?a,b?R;k?a?a,?a?R,k?R;
?k?(2) 平面上不平行于某一非零向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和乘法. 解 (1)由实数乘法的交换率和结合率,得a?b?ab?ba?b?a,
?a?b??c??ab?c?a(bc)?a??b?c?,
又因为a?1?a1?a所以数1是零元,a?kkk1a?a?1a?1,所以
k?l1a是a的负元,另外
klk??a?b???ab??ab?k?a?k?b,(k?l)?a?a?aa?k?a?l?a,
(kl)?a?akl??al?k??k?(l?a),1?a?a?a,总之,在?,?运算下,R是实数域上的线性
1空间.
(2)不是实数域R上的向量空间,例如设所给非零向量α?(1,2,3)T,β1?(2,0,6)T,
β2?(0,4,0)都不与α平行,但β1?β2?(2,4,6)与α平行,对加法不封闭.
TT2. 求第1起中线性空间的一组基和维数.
解 任意一个非零元素a(即a?1)都是R?的一组基, R?是实数域上的1维线性空间. 3.证明:如果n维线性空间V中任意向量都可由α1,α2,?,αn线性表出,则α1,α2,?,αn是V的一组基.
证 因为ε1,ε2,?,εn是V的一组基,所以α1,α2,?,αn能由它们线性表出,由题设
ε1,ε2,?,εn也能由α1,α2,?,αn线性表出,因此α1,α2,?,αn与ε1,ε2,?,εn等价,即α1,α2,?,αn也是V的一组基.
4.证明:在线性空间V中,如果任意向量都可由α1,α2,?,αn线性表出,且有一个向量的表示法是唯一的,则α1,α2,?,αn是V的一组基.
证 设有n个数k1,k2,?,kn,使0?k1α1?k2α2???knαn,又设向量β可由α1,α2,?,αn唯一的线性表出,则β?b1α1?b2α2???bnαn,后式减前式,得 α ?b1?k1?α1??b2?k?22????nb?n?kαnβ?,
,n,)?,可见ki?0(i?1,2n,,即)i?1,2?,由于β的表示式唯一,所以有bi?ki?b(iα1,α2,?,αn线性无关,再由题设知α1,α2,?,αn是V的一组基.
5.在线性空间R[x]3中,取α1?1,α2?1?x,α3?1?x?x2. (1) 求由基1,x,x2到α1,α2,α3的过渡矩阵; (2) 求向量3?2x?x2在基α1,α2,α3下的坐标. 解 (1)显然有
?111? ?α1α2α?3??1 x x 2 ????01?? 1,
?001???11所以从1,x,x2到α??1,α2,α3的过渡矩阵A?01??00?1?(3) 因3?2x?x2?α??1?α2?α3??α1α2α3??1?,
??1???1?所以3?2x?x2在基αα??1,α2,3下的坐标为?1?.
??1???3?或由3?2x?x2??1xx2????2?
??1???111??1?3???α?1α2α3??011??????2?001?????1???1?10??3???αα?12α3??01?1??????2? ?001????1???1???α??1α2α3??1???1???1?得3?2x?x2在基α,α??12,α3下的坐标为?1?.
??1??6.已知R3中的线性变换A使得
1?1??. 1??A?η1??0??1??????0,A(η2)?2,A??????1??1??????η3???1????2, ???2?????1??1??0??1??0??0?????????????其中η1?1,η2?0,η3?1,求A在基ε1?0,ε2?1,ε3?0下的矩阵。
?????????????1???1??1??0??0??1??????????????110?101??1?0，所以η1,η2,η3是R3中的一组基，又由 11?? 110,得A??121??0121??0. ?1?? 10解 因为det?η1η2η3??11??1? 1?? 1? 1 001 01?11?1??100?? 02 2?010????001?11 2??在η1,η2,η3下的矩阵
?1?1???1?0121??0，即A??1??η1η2η3??1???η1η2η3?1???1?10?1另一方面，显然有?η1η2η3???1???ε1ε2ε3?1??1?10?10??1??11???1????10120??1，由此得 ?1??10?10??1?1???1??1?A(ε1ε2ε3)?(ε1ε2ε3)1??1?1???1??01???1???1
??1??(ε1ε2ε3)1??1??0??(ε1ε2ε3)0???1?10?11210??1??11???1????1?1???1??20???2???10121101???1??00???1???1?1???1 ?1??110?1???1 ?1????1??(ε1ε2ε3)2??3?120?2??0. ?2??120?2??0. ?2????1?所以A在ε1,ε2,ε3基下的矩阵为?2?3?