??x???x?7.说明平面xoy上的变换A?????A??的几何意义，其中
?y???y??(1)A????1?00??1 (2) ;A???1??00??0 (3) ;A???0??11??0 (4) ;A???0???11??. 0??x???1（1）A?????y??00??x???x???????,变换A把点(x,y)变为关于y轴的对称点(?x,y). 1??y??y?0??x??x???????,变换A把点(x,y)投影到x轴上. 0??y??0?1??x??y???????,变换A把点(x,y)变为关于直线y?x的对称点(y,x). 0??y??x?1??x??y???????,变换A把点(x,y)变为点(y,?x)，相当于在xoy平0??y???x?（2）A?????y??x??1?0?x??0（3）A?????y??1（4）A?????y??x??0??1面上把点绕原点O顺时针旋转
?2.
8.求R2的线性变换A使得正方形
变换成四边形A?B?C?D?. (1)
(2)
(3)
??1解（1）变换A把点(x,y)变为关于y轴的对称点(?x,y)，其矩阵A???00??, 1???x????1即A????????y???00??x????. 2??y?0?? 2??1（2）变换A把点的纵坐标加倍，其矩阵A???0??x???1即A????????y???00??x????. 2??y??x?yy??x，则??w??yy??0??w??1?100?11??2???0??1?2 1?2?12?? ?1?（3）变换A的矩阵设为A??比较两边同行同列元素得x?2,y?2,z??1,w?1，所以A的矩阵A????x???2即A????????y????12??x????. 1??y?TT?2??12?? 1?n9.在Rn中,对于α,β?R规定?α,β??αAAβ其中A是一个n阶实可逆矩阵,证明?α,β?是
R上的一个内积.
n证 对于任意的α,β,r?Rn,k?Rn,有
(1) ?α,β??αTATAβ??αTATAβ??βTATAα??β,α?,
(2) ?α?β,r???α?β?ATAr??αT?βT?ATAr?αTATAr?βTATAr??α,r???β,r?
TT?kα,β???kα?TAAβ?kαAAβ?k?α,β?.
TTTTT(3) ?α,α??αAAα??Aα?Aα?0,(α?0),
T?0,0??0TATA0?0.
由内积定义知?α,β??αAAβ是Rn中的一个内积.
TT10.在欧几里德空间R4中求一个单位向量使之与向量 ?1???1?,α α1????1???1???1????1??,?α??1???1??2??1?? ?1???3?????23都正交.
?x1?x2解 设与α1,α2,α3都正交的向量x???x3??x?4???,则由x,α?x,α?x,α?0得方程组
?1??2??3??????4?x?x?x?x?0?1234??0??,c为任意常数. ?x1?x2?x3?x4?0,解之得x?c??1??2x?x?x?3x?0??234?1?3???4???1?0?即为所求. ??126???3??把x单位化得?11.设V是n维欧几里德空间,取?α?V,令U?{β?V?β,α??0}, (1)证明:U是V的一个子空间;(2)试求U的维数.
解 (1)设α??a1,a2,?,an?,则由方程组a1x1?a2x2???anxn?0,必有基础解系知存在使?β,α??0的β,所以U是V的非空子集,设β1,β2?U,k?R,则
T?β1?β2,α???β1,α???β2,α??0?0?0,即β1?β2?U. ?kβ1,α??k?β1,α??k0?0,即kβ1?U所以U是V的一个子空间.
(2)当α?0时,因为a1x1?a2x2???anxn?0的基础解系会有n?1个向量,所以U的维数为n?1,当α?0,
时,因为任意一个β?V,都有?β,α??0,所以U的维数与V相同,为n.
12.设A?(aij)n为正交矩阵,证明: (1)A的行列式detA?1或detA??1;
(2)当detA?1时, aij?Aij,当detA??1时, aij??Aij,其中Aij是元素aij的代数余子式,i,j?1,2,?,n.
证 (1) A为正交矩阵,则ATA?E,所以ATA?ATA?A(2)因为A为正交矩阵,所以AT?A?1,即 ?a11?a?21????an1a12a22?an2???a1n??A11??a2nA1T?1??A?A??21??A????ann??An1A12A22?An2???A1n??A2n?,比较两边对应的元素,得 ???Ann?2?E?1,由此得A??1.
当A?1时,aij?Aij,当A??1时, aij??Aij.
13.设A,B都是n阶正交矩阵,且detA?detB?0,证明det?A?B??0.
证 因为A,B都是正交矩阵,所以AAT?BBT?E,又因为A?B?0,所以A??B.于是
A?B?AATTTA?BBBTTT?AATTTA?BBBTT??B2AT?A?B?BT
??AAB?ABB??B?A???A?B???A?B,所以2A?B?0,即A?B?0.
14.设U是欧几里德空间V的一个子空间,令U???β?V[β,α]?0,?α?U?,证明U是V?的一个子空间.
???证 显然0?U,所以U非空,设β1,β2?U,则?β1?β2,α???β1,α???β2,α??0?0?0,
?α?U,又设k?R,则?kβ1,α??k?β1,α??k0?0,?α?U,总之U?对加法数乘封闭,所以
是V的一个子空间.
?1??1?????1015.设U?L?α1,α2?,其中α1???,α2???,求U?的一组规范正交基.
?0??1?????1???0??x1?x2解 设x???x3??x?4????U??????x1?x2?x4?0,则有线性方程组?,其基础解系为
?x1?x3?0??1??0?????1?1?,ξ???.ξ,ξ构成U?的一组基. ξ1??122?1??0?????01?????????1??0???1?????????1?11??1????正交化β1???,β2?????1??0?3?1?????????1?0??1??0??3?1?1??3??1??2???1??2? 3???3?1????3???????1???1?1?单位化e1?,e2???13??0????1???1??2?,e1,e2为所求的U?的一组规范正交基.
15?1???3??16.设向量组α1,α2,?,αm线性无关,且其每个向量都与非零向量β正交,证明:向量组
α1,α2,?,αm,β线性无关.
证 设有m?1个数k0,k1,k2,?,km使得k0β?k1α1?k2α2???kmαm?0两边与β内积得k0?β,β??0,因为β为非零向量,所以?β,β??0,从而k0?0,于是上式变为
k1α1?k2α2???kmαm?0,因为α1,α2,?,αm线性无关,所以k1?k2???km?0,由定义
知α1,α2,?,αm,β线性无关.