《不等式的证明》的教学设计
一、教学内容解析
本节课是上海教育出版社出版的数学教材高一年级第一学期第二章第五节的“不等式的证明”，在复习并深化学习了“比较法”之后，进一步学习不等式证明的“分析法”与“综合法”．“比较法”、“分析法”与“综合法”都属于程序性知识．
在数学证明（包括不等式证明）中，最关键的是通过思考去寻求证明的途径；而根据思维路径的顺逆有“综合法”与“分析法”之分．分析法是执果索因，方向明确，思维较为自然，其缺点是叙述不方便，表述较繁琐. 综合法是由因导果，顺理成章，表述简明，其缺点是一因多果，有时不易找到导出结论的思路. 因此，在遇到比较复杂的问题时，通常把分析法与综合法结合起来使用，先用分析法探求解题途径，打开思维通道，再用综合法进行表述，它们珠联璧合，相得益彰．
“证明”学生从初中起就逐步接触了，只是一直没有概括提炼出证明的方法，高中数学除了它的基础性和应用性外，在促进学生智力发展、形成理性思维等方面具有独特的重要作用．本课学习主要是促进学生对推理证明方法的认识与理解，能更规范、准确地运用这些方法解决数学问题． 二、教学目标设置
基于以上分析，本节课的教学目标设置为：
1．进一步掌握比较法，经历分析法与综合法习得的过程，并会运用其证明简单不等式； 2．体会分析法、综合法在证明中的作用，理解执果索因、由因导果的思维路径； 3．通过教学，养成严谨的思维习惯，提升思维品质，培育逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养．
教学重点：理解比较法、分析法与综合法的基本思路，并会运用它们证明简单的不等式． 教学难点：证明不等式时，如何寻找思维的突破口，选择合适的方法． 三、学生学情分析
由于本节课是上海市的决赛课，是借班上课，且课前没有接触过学生．学生为上海市实验性示范性高中的高一学生，已经学习了集合与命题、不等式的基本性质、不等式的解法、基本不等式及其应用等知识，这都为这节课的学习作了知识、方法与能力上的准备．但不等式证明对思维的灵活性、深刻性，以及数学表达，均有较高的要求，这都需教师立足于学生现有的知识水平和认知能力，通过启发、引导、评价、激励学生，突破思维的障碍．
四、教学策略分析
为了更好地突出教学重点，突破教学难点，实现教学目标，本节课采取了如下策略： 1．创设情境、引发思考【视频1】
通过“糖水甜度”的引例，引发学生积极思考，并通过数学抽象、数学建模，得到相关的不等式；在复习回顾证明不等式的比较法的基础上，引导学生思考其它的证明方法． 2．思维碰撞，探索方法【视频2】
通过教师展示一种证明方法，激发学生主动思考去揭开这种方法的神秘面纱，在此，引导学生从不等式证明的结论出发，探求使其成立的条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，这样就可得到一种新的证明方法，指导学生分析这种方法的思维过程，并给出其名称——“分析法”．有了分析法之后，分析其思维路径，得出相反的思维路径的“综合法”，就是开始展示的证明方法．这样就自然而然地习得了证明不等式的“分析法”与“综合法”，还可感受到发现数学新方法的喜悦！ 3．典型例题，领会方法【视频3】
习得了证明不等式的分析法与综合法之后，分析其各自的思维特征，再通过典型例题，运用这两种方法进行证明不等式的训练．这里设置的3个例题，其思维层次分明，能调动学生的学习积极性，而且能引起思维碰撞；它们为逐步领会分析法与综合法证明不等式的要领起到了良好的作用．课堂上，适时对表现好的学生进行鼓励，对学习遇到困难的学生予以帮助，促进学生对数学方法的理解与数学思维水平的发展． 4．总结反思，思维升华【视频4】
这节课中，通过引例及3个例题中一些不等式的证明，学生已对如何运用分析法与综合 法证明不等式有了较好的领会．这里从解题策略、思维方法、数学思想等方面对整节课的学习进行感悟与总结，可以将课堂学习推向高潮，促进学生思维的升华，培育学生的逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养． 5．课后练习，拓展延伸【视频5】
本节课的引例中，在条件“a,b,m?R?，且b?a”下，我们证明了不等式“由于
a?ma?”， b?mba为真分数，我们通常称之为“真分数不等式”. 请同学改变条件，建立一个与之类似的 b“假分数不等式”，并证明之．例1中的不等式?a?b??b?c??c?a??8abc为3个字母的对称轮换不等式，请同学猜想并证明n个字母的对称轮换不等式．将课堂例题变式为课后练习，将课堂学习延后到课后思考，并培养同学们的大胆猜想、小心论证的数学素养．
五、教学过程
（一）创设情境、引发思考
引例．已知b克糖水中含有a克糖(b?a)，再将m克糖溶入糖水中，仍未达饱和，试问糖水会变得更甜吗？请将上述事实用一个不等式进行描述，并证明这个不等式．
（学生思考，建立不等式：已知a,b,m?R?，且b?a，求证：
（二）思维碰撞、探索方法
（先复习证明不等式的比较法，再让学生思考其它的证明方法，并启发、引导学生从不等式出发，探求使其成立的条件，引出新的证明方法——“分析法”，分析新方法的思维路径，得出相反的思维路径的“综合法”）
（三）典型例题 领会方法
例1．已知a,b,c?R?，求证：?a?b??b?c??c?a??8abc． 例2．已知a?1，求证：a?1?a?1?2a．
例3．已知a,b,c,d?R，试用两种方法证明：a2?b2c2?d2??ac?bd?．
2a?ma?．） b?mb????（学生分析、思考，进行证明；教师巡视，发现学生有疑难，适时启发、点拨；展示学生的证明过程，或请学生进行板演，教师点评）
（四）总结反思、思维升华
（师生合作完成：学生先谈对证明不等式的“分析法”与“综合法”的认识与理解，然后教师进行归纳、提炼、提升）
大数学家莱布尼兹曾说“数学的本质不在于它的对象，而在于它的方法.”
革命导师恩格斯曾说“没有分析就没有综合”，分析与综合是密切联系在一起的，分析是为了综合，综合需要分析．
有副数学对联是这样写的：上联：由因导果顺藤摸瓜（综合法）
下联：执果索因逆推探源（分析法） 横批：得心应手
（五）课后练习、任务后延
1．本节课的引例中，在条件“a,b,m?R?，且b?a”下，我们证明了不等式“由于
a?ma?”， b?mba为真分数，我们通常称之为“真分数不等式”. 请你改变条件，建立一个与之类似的 “假b分数不等式”，并证明之．
2．已知a1,a2,a3,?,an?1,an?R?，且n?N*,n?2，求证：
?a1?a2??a2?a3??a3?a4???an?1?an??an?a1??2n?a1a2a3?an?1an．
3．已知a,b?R?，求证：a?b?2?2(a?b). 4．已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，求证： （1）a2?b2?c2?
1?1??1??1?； （2）??1???1???1??8． 3?a??b??c?
《不等式的证明》一课的点评
不等式是描述不等关系的重要数学模型，是学生后续学习的重要基础，研究“不等式
的证明方法”是解决实际问题的需要，更是数学发展的需要. “不等式的证明”这节课，重点学习证明不等式的“比较法”、“分析法”、“综合法”. 陈频老师循着“实际问题——不等式问题——思维碰撞——方法习得——方法运用——总结提升”的主线展开教学. 下面对这
节课的特色进行一些点评.
1. 方法习得，展现思维过程
本课通过“糖水甜度”的实际问题创设情境，引发学生思考，建立其不等式模型；在证明这个不等式的过程中，先复习、回顾、深化不等式证明的“比较法”，在思考其它证法的过程中，教师给出了一个使学生感到“神秘”的证法，引发思维碰撞，为揭开其“神秘面纱”，师生一起分析其思维路径，得出从结论出发的逆向思维路径是更自然的证明途径. 这就促使证明新方法——“分析法”的产生，而原来“神秘面纱”遮住的方法就是“综合法”.教学中通过师生的深层合作、交流，充分展现了证明不等式的“分析法”与“综合法”产生的思维过程，享受到了数学新方法发现的喜悦！
2. 方法运用，激发思维活动
学生习得了证明不等式的“分析法”、“综合法”之后，师生一起分析其各自的思维特征，并通过典型例题体现方法的运用. 这里设置了3个例题，陈老师巡视课堂，展示了学生的几个证法，还调板了学生，表扬、鼓励了表现好的学生，激励、帮助了学习有疑难的学生. 这样，有效地调动了学生的积极性，激发了他们的思维活动，为逐步领会不等式证明的三种方法的要领起到了良好的作用，促进了学生对数学方法的理解与数学思维水平的发展.
3. 方法感悟，提升思维品质
这节课的最后，陈老师引领学生从思维方法、解题策略等方面对整节课的学习进行了总结与提升，学生高质量的发言说明教学有效，这里进一步促进了学生对“分析法”、“综合法”的基本思路与基本解题策略的理解，还用大数学家、革命导师的名言及一幅对联，对这节课涉及的数学方法进行了很好的诠释，从而将课堂学习推向了高潮, 促进了学生思维、思想品质的进一步提升.
整节课教学主线清晰，引入贴近生活，方法生成自然，方法运用流畅，方法感悟掀起高潮，课后作业延伸学习. 教学着力培育了学生逻辑推理及数学抽象、数学建模等核心素养.
陈频老师的表达清晰、板书整洁，教学亲切、自然、循循善诱，课堂气氛活跃，虽是借班上课，看不出有丝毫的陌生感. 陈老师的教学给学生留有思考的空间，他善于捕捉思维的火花对学生进行鼓励与鞭策，在课堂交流中能对学生进行恰到好处的启发和自然点拨，展现了娴熟的教学智慧.
这是一节给所有听课老师留下深刻印象的、精彩的数学课！