2018版高考数学一轮总复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及
分布列 10.6 几何概型模拟演练 理
[A级 基础达标](时间：40分钟)
1．在长为6 m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是( ) 1A. 41C. 2答案 B
2
解析 将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A，B的距离都大于2 m，∴P＝＝61. 3
2．[2017·绵阳模拟]在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的
4概率是( )
1A. 43C. 4答案 C
1B. 22D. 31B. 32D. 3
S
解析 如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△
S1
PBC的面积大于”等价于事件“|BP|∶|AB|>”，即P( △PBC的面积大于
4
4
S?|PA|3
＝. ?＝
4?|BA|4
3．[2017·陕西联考]已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为( )
1A. 21C. 4答案 D
B.3 2
1D. 3
1
︵
解析 如图，满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧BAC上，其中△ABO和△ACO为2π321
等边三角形，可知∠BOC＝π，故所求事件的概率P＝＝. 32π3
4．在区间[－1,1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x－1的概率是( ) 1
A. 88C. 9答案 D
1B. 97D. 8
解析 点(x，y)分布在如图所示的正方形区域内，画出x－y－1≤0表示的区域，可知所127
求的概率为1－＝.
48
5．[2017·铁岭模拟]已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为( )
1A. 61C. 2答案 C
1B. 32D. 3
2
解析 如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，△ABD为1＋21钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.
62
5
6．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
6答案 3
m－?－m?5
解析 由题意知m>0，当0 5m－?－2?5＝(舍去)；当2≤m<4时，所求概率为＝，解得m＝3；当m≥4时，概率为1，24－?－2?6不合题意，故m＝3. 1 7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部随机取一点P，则VP－ABCD>的概率为 6________． 1答案 2 1111 解析 VP－ABCD>?SABCD·h>(h为P到平面ABCD的高)．SABCD＝1，∴h>.故满足条件的点 63621 构成的几何体为如图中截面下方部分．故所求概率为. 2 8．[2017·大同模拟]如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________． 3 1答案 3 解析 因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB30°1 ∠CAB内，区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝. ∠DAB90°3 x≤0，?? 9．[2017·沈阳模拟]由不等式组?y≥0， ??y－x－2≤0 ??x＋y≤1， ? ?x＋y≥－2? 确定的平面区域记为Ω1，不等式组 确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，求该点恰好在Ω2内的概率． 111 解 由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－× 2227 477 ×1＝，则所求的概率P＝＝. 428 10．设有关于x的一元二次方程x＋2ax＋b＝0. (1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 解 设事件A为“方程x＋2ax＋b＝0有实根”． 当a≥0，b≥0时，方程x＋2ax＋b＝0有实根的充要条件为a≥b. (1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)， 4 2 2 2 22 2 (2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件 A中包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝. 91234 (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}， 构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，如图． 所以所求的概率为 12 3×2－×2 22 P(A)＝＝. 3×23 [B级 知能提升](时间：20分钟) ?ππ??1?11．[2017·衡水模拟]在区间?－，?上随机取一个数x，则cosx的值在?0，?之间 ?22??2? 的概率为( ) 1 A. 31C. 2答案 A B.2 π 2D. 3 ?1??π 解析 当cosx的值在?0，?之间时，x∈?－，?2??2?ππ?2×?－??π，π?，所以所求的概率为?23?＝1. ?32???π?π?3 －?－?2?2? → → π－?∪ 3?? → 12．已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黑芝麻随机撒在△ABC内，则该粒黑芝麻落在△PBC内的概率是( ) 1 A. 42C. 3答案 D 1B. 31D. 2 5