高等几何试题
一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。
3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点x?(1x,x)一直线u??u1,u2,u?3上的充要条件是2,x3在
（ ）。
5、 已知(p1p2,p3p4)?3,则(p4p3,p2p1)=（ ），(pp,p13p24)=（ ）。
6、 如果四直线p1,p2,p3,p4满足(p1p2,p3p4)??1，则称线偶p3,p4和p1,p2
（ ）。
7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是
（ ）。
8、 不在二阶曲线上的两个点P(p1p2p3)，Q(q1q2q3)关于二阶曲线
。 S??aijxixj?0成共轭点的充要条件是（ ）9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分）
x2y21、 计算椭圆的面积（椭圆方程：2?2?1 a,b?0）
ab2、 求共点四线l1:y?k1x，l2:y?k2x，l3:y?k3x，l4:y?k4x的交比。
??x???x1?13、 求射影变换???x2??x2的不变元素。
??x3??x3??4、 求二阶曲线6x12?x22?24x32?11x2x3?0经过点P(1,2,1)的切线方程。
1
5、 求双曲线x2?2xy?3y2?2x?4y?0的渐近线方程。 6、 求抛物线2x2?4xy?2y2?4x?1?0的主轴和顶点。
7、 求使三点O(0,?)，P(1,?1)顺次变到点O?(2,3)，P?(3,?7) E(1,1)，E?(2,5)，
的仿射变换。
三、已知A(1,2,3)，B(5,?1,2)，C(11,0,7)，D(6,1,5)，验证它们共线并求
（8分） (AB,CD)的值。
四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条
二阶曲线。（9分）
2
答案 一、
1、仿射不变量 2、平行直线 3、透视中心 4、u1x1?u2x2?u3x3?0 5、3 2 6、调和分离 7、任何四个对应点的交比相等 8、Spq?0 9、这个变换使圆点保持不变 二、
x2y21、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为2?2?1
ab?x??x经过仿射变换 ?a ① ??y?y?b?其对应图形为圆。
x?2?y?2?a2
在仿射变换①之下，A?A?，B?B?，O?O?，所以?AOB对应?A?OB?，其中A?A?，根据定理3.6推论2，有
椭圆面积圆面积 ?S?AOBS?A?OB?椭圆面积?a2?所以 112aba22因此所给椭圆的面积为?ab。
2、解：化为齐次方程： l1:x2?k1x1?0 l2:x2?kx2?10
l3:x2?k3x1?0 l4:x2?k4x1?0
取a:x2?0,b:x1?0为基线，则有
3
l1(a?k1b),l2(a?k2b),l3(a?k3b),l4(a?k4b) 由定理1.11的推论，得
(l1l2,l3l4)?(?k1?k3)(?k2?k4)
(?k2?k3)(?k1?k4)3、解：由方程
?1??00
001??0?0 01??得 (1??)(1??)(1??)?0 所以 ?1??1， ?2?1（重根） 将??1代入（3.4.3）得
?(?1?1)y1?0y2?0y3?0? ?0y1?(1?1)y2?0y3?0
?0y?0y?(1?1)y?023?1于是得y1?0为不变点列（即y轴），y1?0这条直线上的点都是不变点，
因此这条直线是不变直线。
4、解：将P点的坐标代入二阶曲线方程中得 Spq?0 所以P点在二阶曲线上，故切线方程为 Sp?0
?60?0???x1??x?0 即 (1,2,1)?0?1112?????2??x??011??24?3??2?亦即 12x1?7x2?26x3?0 为所求切线方程。 5、解：设渐近线的方程为
a11x1?a12x2?a13x3?k(a12x1?a22x2?a32x3)?0 根据（2.9）有 ?3k2?2k?1?0
4
解之，得k1?1,k2??，所以渐近线方程为
1x?y?1?(x?3y?2)?0和x?y?1?(x?3y?2)?0
313化简，得所求为2x?2y?1?0和2x?6y?5?0。
2?22?26、解：因为A31??4,A32????4
2020代入（4.11），得主轴为 4(x )2?2y?2?)4x(?2y2?即 2x?2y?1?0
?2x2?4xy?2y2?4x?1?0解方程 ?
2x?2y?1?0?得顶点之坐标为(,)。 7、解：设所求仿射变换为
?x??a11x?a12y?a13 ???y?a21x?a22y?a233188于是有 2?a13 3?a23
2?a11?a12?a13 5?a21?a22?a23 3?a11?a12?a13 ?7?a21?a22?a23
解此方程组，得
a13?2，a23?3，a11?11，a12??，a21??4，a22?6 22故所求的仿射变换为
1??1x?x?y?2? 22???y???4x?6y?35
三、解：因为
15112037162135?12?0 且5?12?0
所以A,B,C,D共线。
设 C?A??1B,D?A??2B 由 11?1?2?5,0?2?2?(?1),7?3?2?2 得 ?1?2 同理可得 ?2?1 所以 (AB,CD)??1?2 ?2四、证明：射影平面上建立了射影坐标后，设两个线束的方程分别为：
?????0 （1） ????????0 （2）
由于它们是射影对应，所以?,??满足：
a????b??c???d?0 (ad?bc?0)
（3）
从（1），（2），（3）中消去?,??得
??????a()()?b()?c()?d?0 ????????c????d??0?? （1.3）即 a????b??
这里?,?,??,??都是关于x1,x2,x3的一次齐次式，所以（1.3）式表示一条二阶曲线。由于??0,??0的交点坐标和???0,???0的交点坐标都满足（1.3）。所以形成二阶曲线的两个线束的中心也在这条二阶曲线上。
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