第四章 导数的应用及微分中值定理和泰勒公式
4.1函数的单调性 4.1.1函数单调性定理
设函数y?f(x)在?a,b?是连续函数，并且在(a,b)上可导 （1）函数y?f(x)在?a,b?上单调增加，则f?(x)?0，x??a,b?； （2）函数y?f(x)在?a,b?上单调减少，则f?(x)?0，x??a,b?. 4.1.2函数单调性几何意义
函数y?f(x)单调增加（减少）时，那么函数y?f(x)的切线的倾角为锐角（钝角），如图4.1.
【例4.1】求函数f(x)?xx的单调增加区间. eex?xex1?x?x 解：由于f?(x)?e2xe若f(x)单调增加，则f?(x)?0，即4.2函数的凹凸性和拐点 4.2.1函数的凹凸的定义
1?x?0，所以x?1. xe设f(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内可导，若对?x0,x?(a,b),x?x0恒有
f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(?)f(x)，则称f(x)在?a,b?上是凹（凸）的. 4.2.2函数凹凸性的几何意义
如图4.3，若曲线y?f(x)在定义域(a,b)上任意一点的切线除切点外都在曲线下
方，则曲线y?f(x)在定义域(a,b)上是凹的；反之，曲线y?f(x)在定义域(a,b)上是凸的. 4.2.3拐点的定义
设f(x)在x?x0的某个邻域内连续，函数f(x)在点?x0,f(x0)?的左右侧凹凸性正好相反，那么称?x0,f(x0)?为曲线y?f(x)拐点. 4.2.4求函数的凹凸区间 由图4.3可以看出，函数在某个凹区域内曲线的切线斜率单调增加，反之单调减少.我们知道切线斜率为f?(x)，那
么f(x)可二次求导时（可以有个别单个点不可导），切线斜率的单调性可以用
f??(x)表示，由此可知满足f??(x)?0时的x区间范围都为凹区间，反之都为凸区
间.如果f(x)不可二次求导，则f(x)没有凹凸性. 4.2.5求函数的拐点
求出f??(x)?0的根和f???x?不存在的点，对于每一个这样的点x0，若f???x?在x0的两侧异号，则P0?x0，f?x0??是拐点；否则P0不是拐点.
【例4.2】求函数y?3x3?3x?x?(0,??)?的单调区间和极值点，凹凸区间与拐点. 解：函数y?3x3?3x在定义域(0,??)上处处连续，先求出y?，y??和它们的零点及不存在的点:
y??(x?3x)(x2?1)(x?3)
3?23y????2x(x?3)(x2?1)(x?3)
2?53?53y??0得x?1或x?3，因为x?3，所以x?1； y???0得x?3，因为x?3，所以无y???0的点.
列出下表：
x (0,1) 1 0 ? (1,3) ? 3 (3,??) ? y? y?? ? ? 不存在 不存在 连续 ? ? ↗ ?（凸） y ↘ ?（凹） 极小值 ↗ ?（凹）因此得y?3x3?3x单调减少区间是(0,1)，单调增加区间是(1,?)；(1,3?2)是极小值点；凹区间是(0,3)，凸区间是(3,??)；(3,0)是拐点. 4.3函数的极值与最值 4.3.1函数的极值 （1）函数极值的定义
给定函数f(x)?x?D?，设点x0?D，如果x0有一个邻域U?x0??D，使得
???f(x)?f(x0)或f(x)?f(x0) ??x?U(x0)?，则称x0是函数f(x)的极大值点或极小
??值点，f(x0)称为f(x)的极大值或极小值.极大值点或极小值点统称为函数的极值点，函数的极大值或极小值统称为函数的极值. （2）函数极值的求法
连续函数的极值点必是函数的f?(x)?0时求出的驻点和不可导点，但这两种点不一定是极值点.不可导点也许需要我们联系图形等来判别，但驻点是否是极值点，有下面具体两种方法：
方法1（函数单调性判别法）：设函数f?x?在点x0的一个邻域U?x0,??上连续，在去心邻域U?x0,??上可导，则
①若x??x0??,x0?时，f??x??0，而x??x0,x0???时，f??x??0，则f?x0?为f?x?的极小值；
②若x??x0??,x0?时，f??x??0，而x??x0,x0???时，f??x??0，则f?x0?为f?x?O的极大值；
③若f??x?在U?x0,??上恒正或恒负，则f?x0?不为f?x?的极值. 方法2（函数凹凸性判别法）：设f?x?在点x0有二阶导数，则 ①当f???x0??0时，f?x0?是f?x?的极小值； ②当f???x0??0时，f?x0?是f?x?的极大值； ③当f???x0??0时，不能判定f?x0?是否是极值. 4.3.3函数的最值 （1）函数最值的定义
函数的最值分为最大值和最小值，是指函数在定义域内的最大值和最小值. （2）函数最值的求法
极值点是函数在除了端点外的定义域上各段区域的最大值或最小值，又因为所有的驻点和不可求导的点包含了所有极值点，所以只要把驻点、不可导点和端点的函数值进行比较就可得到最
大值和最小值.如图4.2，我们可以看出不可导A点为定义域?a,b?上的最大值，右端B点为定义域?a,b?上的最小值. 4.4微分中值定理 4.4.1罗尔定理
设函数f?x?在?a，b?上连续，在?a，b?上可导且f?a??f?b?，则????a，b?，使得f?????0.
（1）罗尔中值定理的证明
函数f?x?在?a，b?上连续，所以存在最大值?M?和最小值?m?. 若M?m，则函数f(x)在?a，b?上必然为常数，结论显然成立.
如M?m，则因为f?a??f?b?使得最大值M与最小值m至少有一个在?a，b?内某一点?处取得，从而?是f?x?的极值费马引理点，由条件f?x?在?a，b?上可导，故得f?????0. （2）罗尔中值定理的几何意义
如图4.4，若连续的曲线y?f?x?在?a，b?上所对应的弧段AB，除两端外处处具有不垂直于x轴的切线，且在弧
的两个端点A,B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点P，使曲线在P点处的切线平行于x轴. 4.4.2拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理的特殊形式. 设函数f?x?在?a，b?上连续，在?a，b?上可导，则
????a，b?使得
f(b)?f(a)?f?(?).
b?a（1）拉格朗日中值定理的证明 辅助函数法:
f(b)?f(a)?x?a?，验证可得h?a??h?b??0.又因为函数
b?af?b??f?a?h?x?在?a，b?上连续在?a，b?上可导，且h??x??f?????根据罗尔定理b?af?b??f?a??????f???0,由此可得??a，b??hx?0可知在内至少有一点使，即
b?af?b??f?a?f?????. b?a令h?x??f(x)?f(a)?（2）拉格朗日中值定理的几何意义
若连续的曲线y?f?x?在A?a，f?a??，B?b，f?b??两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A,B间至少存在一点P??，f????，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行，如图4.5. 4.4.3柯西中值定理
设函数f?x?，g?x?在?a，b?上连续，在?a，b?上可导且g??x??0，则????a，b?，