f?b??f?a?f?????使得 g?b??g?a?g????（1）柯西中值定理的证明 辅助函数法:
令h(x)?f(x)?f(b)?f(a)?g(x),验证可得h(a)?h(b)，又因为函数h?x?在
g(b)?g(a)?a，b?上连续在?a，b?上可导，根据罗尔定理可知在?a，b?内至少有一点?使
h??x??0，即f?????f?b??f?a?f????f?b??f?a??g????，由此可得：?. g?b??g?a?g????g?b??g?a?（2）柯西中值定理的几何意义
如图4.6，若连续曲线AB由参数方程y?f?t?，
x?g?t?，t??a，b?给出，除端点外处处有不垂直于
x轴的切线，则曲线AB上存在一点P，P处的切线平行于割线AB.
3?上连续，在?0,3?内可导，且f?0??f?1??f?2??3，【例4.3】设函数f?x?在?0，f?3??1，试证必存在???0，3?，使f?????0.
证明：由f?0??f?1??f?2??3，可以推出有两种情况：①f?0??f?1??f?2??1；
2?上连续，②f?0?，f?1?，f?2?它们中有大于1和小于1的值，又因为f?x?在?0，
2?，使f?c??所以至少存在一点c??0，f?0??f?1??f?2??1，
33?内可导，有罗尔定理可知，3?上连续，在?c，因为f?c??f?3??1，且f?x?在?c，3???0,3?，使得f?????0. 必存在???c，【例4.4】当x?0时，试证
x?ln?1?x??x. 1?x证明：取f?t??ln?1?t?，t??0，x?，由拉格朗日中值定理可知，必然有一点
???0，x?使得f?x??f?0??f????x，即ln?1?x??x. 1??因为0???x，所以4.5泰勒公式
11xxx??1，??x，?ln?1?x??x. 即证得1?x1??1?x1??1?x4.5.1泰勒公式的意义
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差. 4.5.2泰勒公式的定理
设函数f?x?在x0的区间?a，b?有n?1阶导数，在?a，b?有n阶连续导数，则
?x??a，b?，有f?x??Tn?x??Rn?x?,
f?n??x0??x?x0?n称为n阶泰勒展开式； 其中Tn?f?x0??f??x0??x?x0????n!Rn?x??1n?1f?n?1?????x?x0?，其中??x0???x?x0?，0???1，称为拉?n?1?!格朗日余项.可以简写为：Rn?x????x?x0?.
n??注：x0?0时的泰勒公式称为麦克劳林公式. 4.5.3泰勒公式的证明
在微分的应用中已经知道f?x0??x??f?x0??f??x0??x，于是可以得到
f?x??f?x0??f??x0??x?x0???，
其中误差?是在x?x0的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
Tn(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n来近似地表示函数f?x?要求
Tn(x)与f(x)之差是比(x?x0)n高阶的无穷小，并给出误差f(x)?Tn(x)的具体
表达式.
假设Tn(x)在x0处的函数值及它的直到n阶导数在x0处的值依次与f(x0)，
f?(x0)，?,f(n)(x0)相等，即满足：
Tn(x0)?f(x0)，Tn?(x0)?f?(x0)， Tn(x0)?f?2?(x0)，?，Tn(x0)?f(n)(x0)，
(n)?2?f?2??x0?f?n??x?即：a0?f?x0?，a1?f??x0?，a2?，?，an?，得： 2!n!f??(x0)f(n)(x0)2Tn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n.
2!n!以上是当x?x0时，有f?x??Tn?x?，当x?x0时，f?x?和Tn?x?之间就存在误差， 接下来就要求误差的具体表达式，令Rn(x)?f(x)?Tn(x)，由假设可知，Rn(x)在
?(x0)?Rn??(x0)???Rn(n)(x0)?0. (a,b)内具有直到(n?1)阶导数，且Rn(x0)?Rn对两个函数Rn(x)及(x?x0)n?1在以x0及x为端点的区间上应用柯西中值定理得：
?(?1)Rn(x)Rn(x)?Rn(x0)Rn (?1在x0与x之间)； ??n?1n?1n(x?x0)(x?x0)?0(n?1)(?1?x0)?(x)与(n?1)(x?x0)n在以x0及?1为端点的区间上应用柯西中值再对两个函数Rn定理，得：
?(?1)?(?1)?Rn?(x0)??(?2)RnRnRn (?2在x0与?1之间)； ??nnn?1(n?1)(?1?x0)(n?1)(?1?x0)?0n(n?1)(?2?x0)照此方法继续做下去，经过(n?1)次柯西中值定理后，综合所有的式子得：
(n?1)Rn(x)Rn(?) (?在x0与?n之间，因而也在x0与x之间). ?n?1(n?1)!(x?x0)又因为Tn所以Rn(n?1)(?)?0，
(n?1)(?)?f(n?1)(?) ，则由上式得：
f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1 （?在x0与x之间）.
(n?1)!【例4.5】 求f(x)?sinx的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式. 解：因为f?(x)?cosx，f??(x)??sinx，f???(x)??cosx，
f(4)(x)?sinx，?,f(n)(x)?sin(x?n?)， 2所以f(0)?0 ，f?(0)?1，f?2?(0)?0，f?3?(0)??1，f(4)(0)?0等等.它们依次循环地取四个数0，1，0，一1，于是得：
x3x5x2m?1m?1sinx?x?????(?1)?R2m，(令n?2m),
3!5!(2m?1)!???sin??x?(2m?1)?2?2m?1?其中R2m(x)? （0???1）. x(2m?1)!如果取m＝1，则得近似公式sinx?x.
33sin(?x??)x2x3?这时误差为 R2? （0???1）. 3!6如果m分别取2和3，则可得sinx的3次和5次近似多项式
111sinx?x?x3 和 sinx?x?x3?x5，
3!3!5!1517其误差的绝对值依次不超过x和x.
5!7!xx2?1?x2?1?2x2【例4.6】求lim.
x???11?2x2?2x2cosx
??1?t2?1?t2?2解：原式?limt?0?t2?2?2cost?1214?12144?4?1?t?t??t?1?t?t??t?2?2???88???2? ?limt?0?1?1?t2?2?2?1?t2?t4??t4?4!?2!?1?t2??t44 ?lim??3 .t?0?12t??t412t?1x??????????【例4.7】设f?x??1?xcosx，利用泰勒公式求f???0?和f?3??0?. 解：先求出f?x?的三阶麦克劳林公式，其中：
1?x?1?1111x?x2?x3??x3，cosx?1?x???x3?，
22816??153x?x2?x3??x3， 281659?3???????f0?-f0?-所以，.
48则f?x??1???