1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设y?cos(x)sin221,则y??＿＿＿＿＿＿. x(2) 微分方程y???y??2x的通解为＿＿＿＿＿＿.
2??x?1?t(3) 曲线?在t?2处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. 3??y?t(4) lim(n??12n??L?)?＿＿＿＿＿＿.
n2?n?1n2?n?2n2?n?n2(5) 曲线y?x2e?x的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设f(x)和?(x)在(??,??)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)?0,?(x)有间断点,
则 ( ) (A) ?[f(x)]必有间断点 (B) [?(x)]2必有间断点 (C) f[?(x)]必有间断点 (D)
?(x)必有间断点 f(x)(2) 曲线y?x(x?1)(2?x)与x轴所围图形的面积可表示为 ( )
(A) ?(B)
?20x(x?1)(2?x)dx
21??10x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx
10(C) ?(D)
?x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx
1220x(x?1)(2?x)dx
(3) 设f(x)在(??,??)内可导,且对任意x1,x2,当x1?x2时,都有f(x1)?f(x2),则
( )
(A) 对任意x,f?(x)?0 (B) 对任意x,f?(?x)?0 (C) 函数f(?x)单调增加 (D) 函数?f(?x)单调增加
(4) 设函数f(x)在[0,1]上f??(x)?0,则f?(1)、f?(0)、f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小
顺序是 ( ) (A) f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B) f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (C) f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) (D) f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0) (5) 设f(x)可导,F(x)?f(x)(1?|sinx|),若使F(x)在x?0处可导,则必有 ( )
(A) f(0)?0 (B) f?(0)?0 (C) f(0)?f?(0)?0 (D) f(0)?f?(0)?0
三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1) 求lim?x?01?cosx. x(1?cosx)f(y)(2) 设函数y?y(x)由方程xed2y?e确定,其中f具有二阶导数,且f??1,求2.
dxyx2(3) 设f(x?1)?ln2,且f[?(x)]?lnx,求??(x)dx.
x?221??xarctan2,x?0,(4) 设f(x)??试讨论f?(x)在x?0处的连续性. x?? 0, x?0,?x?1?cost(5) 求摆线?一拱(0?t?2?)的弧长.
?y?t?sint(6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度vt?0?v0,已知阻力与速度成正比(比例常
数为1),问t为多少时此质点的速度为
四、(本题满分8分)
求函数f(x)?v0？并求到此时刻该质点所经过的路程. 3?x20(2?t)e?tdt的最大值和最小值.
五、(本题满分8分)
x设y?e是微分方程xy??p(x)y?x的一个解,求此微分方程满足条件yx?ln2?0的特
解.
六、(本题满分8分)
如图,设曲线L的方程为y?f(x),且y???0,又MT,MP分别为该曲线在点
M(x0,y0)处的切线和法线,已知线段MP的长度为???y??(x0)),试推导出点P(?,?)的坐标表达式. y0
七、(本题满分8分)
设f(x)?(1?y?)??y?(x0), (其中y0??y03220y P(?,?) ? L M(x0,y0) T O x ?x0?sintdt,计算?f(x)dx.
0??t
八、(本题满分8分)
设limx?0f(x)?1,且f??(x)?0,证明f(x)?x. x
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】?2xsin(x2)?sin21?xcos(x2)?sinx22x
【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,
?sin21?cos(x2)?sin2?cos(x) y??????x?21?? ?x?1111?cos(x2)?2sin?cos?(?1)2 xxxx2cos(x2)?sin1x. ??2xsin(x2)?sin2?2xx ??sin(x)?2x?sin22【相关知识点】复合函数求导法则：y??(f(x))的导数为y????(f(x))f?(x). (2)【答案】y?c1cosx?c2sinx?2x
【解析】微分方程y???y??2x对应的齐次方程y???y?0的特征方程为r?1?0, 特征根为r1,2??i,故对应齐次方程的通解为C1cosx?C2sinx.
设非齐次方程的特解Y?ax?b,则Y??a,Y???0,代入微分方程y???y??2x,得
20?ax?b??2x,
比较系数得a??2,b?0,故Y??2x.所以通解为
y?C1cosx?C2sinx?2x.
【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y(x)是二阶线性非齐次方程
*y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的通解,则y?Y(x)?y*(x)是非齐次方程的通解.
2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
Y(x),可用特征方程法求解：即y???P(x)y??Q(x)y?0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程
2变为y???py??qy?0.其特征方程写为r?pr?q?0,在复数域内解出两个特征根r 1,r2；
分三种情况：
(1) 两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y?C1e
rx1?C2er2x;
1(2) 两个相等的实数根r1?r2,则通解为y??C1?C2x?e;
rx?x(3) 一对共轭复根r1,2???i?,则通解为y?e?C1cos?x?C2sin?x?.其中C1,C2为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解y*(x),可用待定系数法,有结论如下：
?x*k?x如果f(x)?Pm(x)e,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)?xQm(x)e
的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而k按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x],则二阶常系数非齐次线性微分方程
y???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解可设为
(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x],
(1)(2)其中Rm(x)与Rm(x)是m次多项式,m?max?l,n?,而k按??i?(或??i?)不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (3)【答案】y?3x?7?0 【解析】切线的斜率为
dydxt?2dy?dtdxdt3t2?2tt?2t?23?t?3. 2t?2当t?2时,x?5,y?8.故所求切线方程为 y?8?3(x?5).化简得 y?3x?7?0.
【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果?(4)【答案】
?x??(t)dy??(t)?,则.
?dx?(t)y??(t)?1 2【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令
12n??? 222n?n?1n?n?2n?n?n12n?2??2则 an?2
n?n?nn?n?nn?n?nan?