【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
d??x?f?t?dt?f???x?????x??f???x?????x?. ??x??dx
五、(本题满分8分)
【解析】把y?ex和y??ex代入所给的一阶线性微分方程,得
xex?p(x)ex?x,
解得 p(x)?xe?x?x.
线性方程被确定为xy??(xe?x?x)y?x,即
y??(e?x?1)y?1.
这是一阶线性非齐次微分方程,通解为 y?e??(e?x?1)dx?e?(e?x?1)dxdx?C? ??????e?x?x ?ee?x?x??eln2dx?C?e?e?x?x?e?e?e?x?x???e?x?dx?C?eedx?C????? ??ex??????x?? ?ee再由 y?x?x(e?e?C)?ex?Cee?Cex?x?x?x.
?12x?ln2?0得ee?ln2?ln212?0,即C??e.
.
故所求的特解为 y?e?ee?x?x?【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的通解公式为:
?p(x)dxp(x)dxy?e?(?q(x)e?dx?C),其中C为常数.
六、(本题满分8分)
?,y0??,表示出?,?. 【解析】要求点P的坐标,也就是说,要用x0,y0,y0由MP?1?y?0?232???,有 y0(??x0)2?(??y0)2??1?y0?2???2y03, ①
又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系,知
???y0
??x0, ②
??y0
?(??y0)代入①消去?,得到 把②式,即(??x0)??y0?2)2/y0??2, ③ (??y0)2?(1?y0?21?y0由y???0,知曲线是向上凹的,容易看出??y0,所以③可化为 ??y0?,
??y0?(1?y0?2)y0?(??y0)??且 ??x0??y0,
??y0?y0?2???x?(1?y),00???y?0于是得 ?
1???y?(1?y?2).00???y0?
七、(本题满分8分)
【解析】方法一：这是一个积分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法.
由于 f?(x)?因而由分部积分法和f(0)?sinx, ??x?00sintdt?0,有 ??t?0??0f(x)dx??f(x)d(x??)?f(x)(x??)0???f?(x)(??x)dx
0???(??x)0??sinx?dx??sinxdx???cosx?0?2.
0??x方法二：对于二重积分
??0f(x)dx???0?xsint?dt?dx,可以通过变换积分次序来求解. ??0???t??其中
?0f(x)dx???0sint?xsint?dtdx?dtdx, ??0?????t??t??DD??(x,t)0?x??,0?t?x???(x,t)0?t??,t?x???.于是
??0f(x)dx???0?sint????sint?dx?dt??dt?dx??sintdt?2. ??t0??tt0??t??
八、(本题满分8分) 【解析】由于 limx?0f(x)?1,所以必有f(0)?0,且 x
f?(0)?limx?0f(x)?f(0)f(x)?lim?1. x?0x?0x证法一：用函数单调性证明不等式. 令 ?(x)?f(x)?x,
则 ??(x)?f?(x)?1?f?(x)?f?(0). 由于f??(x)?0,所以函数f?(x)单调增加,
????(x)?f?(x)?f?(0)?0,x?0,
?????(x)?f(x)?f(0)?0,x?0,??(x)在x?0由负变正,所以x?0是?(x)的极小值点也是最小值点,
?(x)?f(x)?x??(0)?f(0)?0?0,
即f(x)?x. 证法二：用泰勒公式.
f(x)?f(0)?f?(0)x?因为f??(x)?0,所以 所以 f(x)?x?
11f??(?)x2?x?f??(?)x2. 2!21f??(?)x2?0. 21f??(?)x2?x. 2