【模拟试题】
一、填空题
1. 在等差数列｛an｝中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于= . 2. 已知数列的通项an??5n?2，则其前n项和Sn? .
3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是 .
24. 在等比数列{an}中，a3和 a5 是二次方程 x?kx?5?0 的两个根，则a2a4a6 的值为 .
5. 等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n= . 6. 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为________
An7n?45a7?{b}B{a}Bn?3，b7= 7. 已知两个等差数列n和n的前n项和分别为An和n，且nan ，若bn为正整数，n的取值个数为___________。
8. 已知数列?an?对于任意p，q?N，有ap?aq?ap?q，若
*a1?19，则a36? .
9. 记数列{an}所有项的和为S(1)，第二项及以后各项的和为S(2)，第三项及以后各项的和为 S(3),?，第n项及以后各项的和为S(n)，若S(1)?2，S(2)1S??1，(3)2,?，
S(n)?12n?2,?，则an等于 .
10. 等差数列{an}共有2n?1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项
为_____.
211. 等差数列{an}中，an?0，若m?1且am?1?am?am?1?0，S2m?1?38，则m的值为 .
12. 设Sn为等差数列{an}的前n项和. 已知S6?36,Sn?324,Sn?6?144(n?6)，则n等于 .
13. 已知函数f(x)定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f(x?2)?2f(x?1) ?f(x)，且f(1)?2,f(3)?6，则f(2005)?__ __.
14. 三个数a,b,c成等比数列，且a?b?c?m(m?0)，则b的取值范围是 . 15. 等差数列{an}中，前n项和为Sn，首项a1?4,S9?0. （1）若an?Sn??10，求n （2） 设bn?2an，求使不等式b1?b2???bn?2007的最小正整数n的值.
点拨：在等差数列中an,Sn,n,d知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项a1与公差d，把an,Sn分别用首项a1与公差d，表示即可. 对于求和公式Sn?n(a1?an)，2Sn?na1?n(n?1)d采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更2简单一些. 例如：已知a9?0,a10?0,a9?a10?0,判断S17,S18,S20的正负. 问题2在思考时要注
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意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项. 16. 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1?1?2，S3?9?32. （I）求数列{an}的通项an与前n项和为Sn； （II）设
bn?Sn*n（n?N），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
1(x1,y1),P2(x2,y2)?,Pn(xn,yn)?，对一切正整数n，点Pn位17. 在直角坐标平面上有一点列P于函数
y?3x?513?4的图象上，且Pn的横坐标构成以2为首项，?1为公差的等差数列{xn}.
⑴求点Pn的坐标；
⑵设抛物线列c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的
2顶点为Pn，且过点Dn(0,n?1)，设与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：111????k1k2k2k3kn?1kn.
xnn,?Nn,?⑶设S??x|x?2?1T,??yy?|yn4n?,?，1等差数列{an}的任一项
an?S?T，其中a1是S?T中的最大数，?265?a10??125，求{an}的通项公式.
*a??a?1,a?2a?1(n?N)， n1n?1n18. 已知数列满足
（1）求数列?an?的通项公式；
b?1bb?1b?1*（2）若数列?an?满足44?4?(an?1)(n?N)（n∈N*），证明：?bn?是等差
12nn数列.
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【试题答案】
1. 42
n(5n?1)22. 8(,3]3. 3 ?4. ?55 5. 10 6. 210 7. 8.5；5个
解法一：点拨 利用等差数列的求和公式
?“若2m?p?q,m,p,q?N，则
Sn?(a1?an)n2及等差数列的性质
”
am?ap?aq2(a1?a13)?13A13172a7(b?b)?13?B?211313b2解析：7=
2aS?an?bn”这个结论，根据条件 nn解法2： 点拨 利用“若{}为等差数列，那么
找出an和bn的通项.
解析：可设An?kn(7n?45)，Bn?kn(n?3)，则an?An?An?1?k(14n?38)，
a7k(14?7?38)17?2 bn?k(2n?2)，则b7=k(2?7?2)ank(14n?38)1212?7?n?1，显然只需使n?1为正整数即可， 由上面的解法2可知bn=k(2n?2)故n?1,2,3,5,11，共5个.
点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用. 反思：解法2中，若是填空题，比例常数k可以直接设为1. 8. 4
11?2n?22n?12n?1. 9. 解：
?(n?1)an?1?319?a10. 解：依题意，中间项为n?1，于是有?nan?1?290解得an?1?29.
an?S(n)?S(n?1)??2a?am?1?am?1?2am，而am?0，?am?2，又?S2m?1?38，m11. 解：由题设得
1?38?(a1?a2m?1)(2m?1)2am(2m?1)??2(2m?1)22，m?10.
12. 解：S6?(Sn?Sn?6)?6(a1?an)?36?(324?144)?216， a1?an?36，
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Sn?n(a1?an)?3242. ∴n?18。
*13. 解：由f(x?2)?f(x)?2f(x?1)知函数f(x)(x?N)当x从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，f(1),f(3),?,f(2005)形成一个首项为2，公差为4的
等差数列，f(2005)?2?(1003?1)?4?4010.
bb1ma?,c?bq?b?bq?m,?b?0,??q?1?qqb. 14. 解：设，则有qm1m??q?1?3?0?b?3； 当q?0时，bq，而b?0，
m1m??q?1??1??1当q?0时，bq，即b，而m?0，?b?0，则?m?b?0，
mb?[?m,0)?(0,]3. 故
15. 解：（1）由S9?9a1?36d?0，得：d??1,an?5?n，
n(n?1)?(?1)??10. 又由an?Sn??10,4?(n?1)(?1)?4n?2即n2?7n?30?0，得到n?10. （2）由bn?25?n
若n≤5，则b1?b2???bn≤b1?b2???b5?31，不合题意
2(2n?5?1)?2007 故n>5，b1?b2??bn?31?2?1即2n?5?989，所以n≥15，使不等式成立的最小正整数n的值为15
??a1?2?1，??3a1?3d?9?32，?d?2， 16. 解答：（I）由已知得?故an?2n?1?2，Sn?n(n?2). （Ⅱ）由（Ⅰ）得
bn?Sn?n?2n.
2bb,b,b{b}p,q,rqpqrn假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则?bpbr.
2即(q?2)?(p?2)(r?2).
?(q2?pr)?(2q?p?r)2?0
?p，q，r?N?，
?q2?pr?0，p?r22???()?pr，(p?r)?0，?p?r?2q?p?r?0，2 .
与p?r矛盾.
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53xn???(n?1)?(?1)??n?22 17. 解：（1）
13535?yn?3?xn???3n?,?Pn(?n?,?3n?)4424
（2）?cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn. ?设cn的方程为：
y?a(x?2n?3212n?5)?,24
222把Dn(0,n?1)代入上式，得a?1，?cn的方程为：y?x?(2n?3)x?n?1.
11111???(?)kn?y'|x?0?2n?3，kn?1kn(2n?1)(2n?3)22n?12n?3
1111111111?????[(?)?(?)???(?)]k1k2k2k3kn?1kn257792n?12n?3 11111(?)??=252n?3104n?6.
（3）S?{x|x??(2n?3),n?N,n?1}， ?T?{y|y??(12n?5),n?N,n?1}?{y|y??2(6n?1)?3,n?N,n?1} ?S?T?T,T 中最大数a1??17.
设{an}公差为d，则a10??17?9d?(?265,?125)，由此得
?248?d??12,又?an?T?d??12m(m?N*)9
?d??24,?an?7?24n(n?N*)
*18. （1）解：?an?1?2an?1(n?N), ?an?1?1?2(an?1),
??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列. ?an?1?2n. 即 an?2n?1(n?N*).
（2）证：?4k1?1k2?14...4kn?1?(an?1)kn. ?4(k1?k2?...?kn)?n?2nkn.
?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ①
2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0,③ nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.④
③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0, 即 bn?2?2bn?1?bn?0,
?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),
??bn?是等差数列.
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